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Darüber hinaus seien noch zwei häufig gebrauchte, spezielle Differentialoperatoren ein-
geführt. Zum einen ist für Vektorfelder
F
:
U
K
N
mit
U
R
N
eine nicht-leere, offene
→
⊂
Teilmenge die Funktion
N
i
=1
∂
F
i
=
∇
=
div
F
trace
F
x
i
die
Divergenz
, der assoziierte Operator div der
Divergenzoperator
. Für Funktionen
F
:
U
∂
→
K
bezeichne
Δ
mit
N
i
=1
2
F
∂
∂
2
F
Δ
F
=
trace
∇
=
x
i
den
Laplace-Operator
.
Um bei höheren partiellen Ableitungen einer Funktion die Übersicht zu behalten,
benutzt man häufig die sogenannte Multiindex-Schreibweise. Ein Multiindex ist
N
d
α
∈
und für
α
=(
α
1
,...,
α
d
)
schreiben wir
∂
α
∂
x
α
=
∂
α
1
x
α
1
···
∂
α
d
x
α
d
.
∂
∂
Wir werden ebenfalls die Notation
∂
α
=
∂
α
∂
x
α
d
k
|α|
= ∑
benutzen. Wir bezeichnen mit
α
k
die
Ordnung
des Multiindexes. Mit Hilfe
von Multiindizes lässt sich zum Beispiel die
Leibniz-Regel
für die höheren Ableitungen
eines Produktes kompakt formulieren: Mit
=
1
d
k
(
β
) =
α
!
=
∏
β ≤ α
α
!
α
k
! und
für
=
1
β
!
(
α−β
)
!
(d.h.
β
k
≤
α
k
für 1
≤
k
≤
d
) gilt
α
β
∂
α
−
β
f
∂
β
g
.
∂
α
(
)=
β
≤
α
fg
Eine schwächere Variante als die Fréchet-Differenzierbarkeit ist die folgende:
Definition 2.11
(Gâteaux-Differenzierbarkeit)
Eine Abbildung
F
:
X
⊃
→
U
Y
einer nichtleeren Teilmenge
U
zwischen normier-
ten Räumen
(
X
,
·
X
)
,
(
Y
,
·
Y
)
ist
Gâteaux-differenzierbar
in einem
x
∈
U
, falls es ein
(
)
∈L
(
)
∈
λ →
(
+
λ
)
D
F
, defi-
niert auf einer Nullumgebung in
K
, in 0 differenzierbar ist und die
(Gâteaux-)Ableitung
D
F
x
,
y
x
X
,
Y
gibt, so dass für jedes
y
X
die Abbildung
F
x
,
y
:
F
x
y
=
(
)
D
F
x
y
erfüllt. Analog heißt die Abbildung
F
Gâteaux-differenzierbar, falls sie
es für jedes
x
∈
U
ist.
Der wesentliche Unterschied zwischen Differenzierbarkeit im Gâteaux- und Fréchet-
Sinn ist deren Aussage über die Approximationsgüte der Ableitung. Während die Li-
nearisierung
F
(
)+
(
)(
·−
)
x
D
F
x
x
im Falle der Fréchet-Differenzierbarkeit besser als
ε
·−
0 gleichmäßig in einer Umgebung von
x
annähert, gilt dies im
Falle der Gâteaux-Differenzierbarkeit nur für jede Richtung.
x
X
für jedes
ε
>
