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Au
n
(
)
schwach konvergenten Teilfolge von
geschlossen werden kann. Genau diese Ei-
als stark-schwach abgeschlossener Operator zwischen
L
q
genschaft versagt für
∇
(
Ω
)
und
L
1
,
R
d
(Ω
)
.
Dieses Versagen kann allerdings als Ansatzpunkt genommen werden, um ein Funk-
tional zu definieren, welches im gewissen Sinn das Integral
Ω
|∇
|
u
d
x
verallgemeinert.
Ersetzt man nämlich
L
1
,
R
d
(Ω
)
mit dem Raum der vektorwertigen endlichen Radon-
,
R
d
Maße
, so stellt dieser einerseits den Dualraum eines separablen Banach-
Raums dar: Es ist
M
(
Ω
)
,
R
d
,
R
d
)
∗
nach dem Satz von Riesz-Markow (Satz 2.62).
M(Ω
)=
C
0
(Ω
Andererseits ist
L
1
,
R
d
d
isometrisch darin enthal-
(
Ω
)
vermöge der Abbildung
u
→
u
L
d
L
1
,
R
d
ten, also
u
L
M
=
u
1
für alle
u
∈
(
Ω
)
(siehe Beispiel 2.60).
,
R
d
konvex, schwach*-unterhalbstetig und koerziv ist, liegt
es nahe, den schwachen Gradienten
Da die Norm auf
M
(
Ω
)
auf einem Unterraum von
L
q
∇
(
Ω
)
mit Werten
,
R
d
M(Ω
)
·
M
◦∇
in
zu betrachten. Wie lässt sich
so ein schwacher Gradient erklären? Wir fordern einfach für den allgemeinsten hier
behandelten Ableitungsbegriff, dem distributionellen Gradienten, die Darstellbarkeit
durch ein vektorwertiges endliches Radon-Maß.
zu definieren und die Verkettung
,
R
d
Definition 6.102
(Schwacher Gradient in
M
(
Ω
)
/Totalvariation)
R
d
,
R
d
Ω
⊂
μ ∈
M(Ω
)
∈
Es sei
ein Gebiet. Ein
ist der schwache Gradient eines
u
L
loc
(
Ω
)
,
R
d
, falls für jedes
ϕ
∈D
(
Ω
)
gilt:
=
−
u
div
ϕ
d
x
Ω
ϕ
d
μ
.
Ω
Im Falle der Existenz schreiben wir
μ
=
∇
u
und nennen dessen Norm, notiert mit
,
R
d
TV
(
)=
∇
M
μ ∈
M(Ω
)
μ
=
∇
u
u
, die
Totalvariation
von
u
. Gibt es kein
mit
u
,so
sei TV
(
u
)=
∞
.
Diese Definition stellt sich als sinnvoll heraus und erfüllt darüber hinaus eine Reihe
angenehmer Eigenschaften.
Lemma 6.103
Es sei
L
q
Ω
ein Gebiet und q
∈
[
1,
∞
[
. Dann gilt für u
∈
(
Ω
)
:
,
R
d
1.
Existiert ein
μ
∈
M
(
Ω
)
mit
μ
=
∇
u nach Definition 6.102, so ist dieses eindeutig.
,
R
d
,
R
d
2.
Es ist
∇
u
∈
M
(
Ω
)
mit
∇
u
M
≤
C genau dann, wenn für alle
ϕ
∈D
(
Ω
)
gilt:
≤
ϕ
∞
.
u
div
ϕ
d
x
C
Ω
Insbesondere folgt die Identität
sup
d
x
ϕ
∈D
(
Ω
1
.
,
R
d
TV
(
u
)=
u
div
ϕ
)
,
ϕ
∞
≤
(6.52)
Ω
u
n
in L
q
u
n
,
R
d
3.
Konvergiert eine Folge
(
)
(
Ω
)
gegen u und gilt
∇
∈
M
(
Ω
)
für jedes n mit
∗
μ
u
n
,
R
d
∇
μ ∈
M(Ω
)
μ
=
∇
für ein
, so folgt
u.
