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Den
Beweis
kann man durch Einsatz bekannter Techniken erbringen (siehe Übungsauf-
gabe 6.33).
Es sei bemerkt, dass in der Literatur die Gleichung (6.52) häufig als Definition der
Totalvariation verwendet wird. Da letztere auch den Wert
∞
annehmen kann, benutzen
wir im Folgenden TV für allgemeine Funktionen in
L
q
(Ω)
∇
∈
. Ist allerdings klar, dass
u
,
R
d
M
(
Ω
)
existiert, so schreiben wir auch gleichbedeutend
∇
u
M
.
Beispiel 6.104
(Totalvariation für spezielle Funktionenklassen)
1.
Sobolew-Funktionen
Wie schon erwähnt hat jedes Element
u
H
1,1
,
R
d
∈
(
Ω
)
einen Gradienten in
M
(
Ω
)
M
=
Ω
|∇
d
. Damit gilt:
mit
(
∇
u
)
M
=(
∇
u
)
L
1
L
∇
u
u
|
d
x
.
2.
Charakteristische Funktionen
Es sei
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Teilgebiet von
=
χ
Ω
. Dann gilt für
Ω
und
u
,
R
d
ϕ
∈D
(
Ω
)
mit
ϕ
∞
≤
1 mit dem Gaußschen Integralsatz (Satz 2.81):
d
−
1
.
u
div
ϕ
d
x
=
div
ϕ
d
x
=
∂
Ω
ϕ
·
ν
d
H
Ω
Ω
d
−
1
∂
Ω
, dieses Maß ist in
,
R
d
Damit entspricht
∇
u
=
−
ν
H
M
(
Ω
)
enthalten, denn
−
∂
Ω
und es gilt
,
R
d
d
1
-integrierbar auf
für alle
ϕ
∈C
0
(
Ω
)
ist
ϕ
·
ν
H
−
1
≤
H
−
−
(
∂
Ω
)
ϕ
∞
,
d
d
1
Ω
ϕ · ν
d
H
)
∗
und die Behauptung folgt aus dem Satz von Riesz-Markow
(Satz 2.62). Wir sehen auch, dass
,
R
d
∇
∈C
0
(Ω
also
u
d
−
1
(
∂
Ω
)
gelten muss, in der Tat
herrscht sogar Gleichheit (siehe Übungsaufgabe 6.36), also TV
∇
u
M
≤
H
d
−
1
(
∂
Ω
)
(
)=H
.
Die Totalvariation von charakteristischen Funktionen von Lipschitz-Teilgebieten
entspricht damit deren Umfang. Dies motiviert folgende Verallgemeinerung des
Umfangs
(englisch
Perimeter
) auf messbare
u
Ω
⊂
Ω
:
(Ω
)=
(
χ
Ω
)
Per
TV
.
Beschränkte Lipschitz-Teilgebiete haben in diesem Sinn einen endlichen Umfang.
Das Studium der Mengen
Ω
mit endlichen Umfang, führt auf das Studium der
sogenannten
Caccioppoli-Mengen
, die eine weitere (jedoch geringfügige) Verallge-
meinerung darstellen.
3.
Stückweise glatte Funktionen
Es s
ei
u
L
q
∈
(Ω)
stückweise glatt, das heißt derart, dass
Ω
sich als Vereinigung
von
Ω
k
schreiben lässt mit paarweise disjunkten beschränkte
n L
ipschitz-Gebieten
Ω
1
,...,
1, . . . ,
K
gilt:
u
k
1
=
=
|
Ω
k
∈C
(Ω
k
)
Ω
K
und für jedes
k
u
, das hei
ßt
u
ein-
Ω
k
sei zu einer stetig differenzierbaren Funktion
u
k
geschränkt auf
Ω
k
fort-
setzbar. Wir wollen nun untersuchen, ob der schwache Gradient ein Radon-Maß
darstellt.
auf
