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λ
∗
·
0 mit dem oben definierten Vektor der Integrale
w
. Man kann nun, wie in
den vorangegangenen Anwendungsbeispielen, die Analysis der
p
-Laplace-Gleichung
nutzen und folgern, dass zum Beispiel im Falle von
w
i
,
j
=
also
w
L
∞
(Ω)
die Lösung
u
∗
min-
∈
destens stetig sein muss.
Während (6.48) für allgemeine
p
eine nichtlineare partielle Differentialgleichung
darstellt, die mit linearen Gleichungen für die Nebenbedingungen und den Lagrange-
Multiplikatoren gekoppelt ist, ergibt sich bei
p
2 ein lineares Gleichungssystem, was
man wie folgt lösen kann. Zunächst findet man, für jedes
=
(
)
i
,
j
die Lösung der Gleichung
⎧
⎨
Ω
z
i
,
j
w
i
,
j
1
|
Ω
|
w
i
,
j
d
x
−
Δ
=
−
in
Ω
,
z
i
,
j
(6.49)
∇
· ν
=
0
auf
∂
Ω
,
⎩
Ω
z
i
,
j
=
0.
Solche
z
i
,
j
H
1
existieren eindeutig, siehe Beispiel 6.93. Setzt man diese in das
Optimalitätssystem ein und bezeichnet mit
∈
(
Ω
)
λ
0
=
|
Ω
|
−
1
Ω
u
∗
d
x
, so folgt
u
∗
d
x
u
∗
d
x
1
|
Ω
|
1
|
Ω
|
u
∗
w
i
,
j
d
x
u
∗
w
i
,
j
d
x
w
i
,
j
d
x
w
i
,
j
d
x
=
−
+
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
u
∗
(
−
Δ
z
i
,
j
+
λ
0
Ω
(
−
Δ
u
∗
)
z
i
,
j
d
x
+
λ
0
=
)
d
x
w
i
,
j
=
w
i
,
j
Ω
l
=1
λ
k
,
l
N
k
=1
M
w
k
,
l
z
i
,
j
d
x
+
λ
0
w
i
,
j
U
i
,
j
.
=
=
Ω
z
i
,
j
u
∗
in dom
∇
∗
enthalten sind. Die Skalar-
Hier haben wir ausgenutzt, dass
∇
und
∇
produkte lassen sich aufgrund
Ω
z
i
,
j
d
x
=
0 weiter umformen zu
w
k
,
l
d
y
z
i
,
j
d
x
w
k
,
l
1
|
Ω
|
w
k
,
l
z
i
,
j
d
x
z
k
,
l
z
i
,
j
d
x
=
−
=
Ω
(
−
Δ
)
Ω
Ω
Ω
z
k
,
l
z
i
,
j
d
x
.
=
Ω
∇
·∇
(
i
,
j
),(
k
,
l
)
=
Ω
∇
z
k
,
l
z
i
,
j
d
x
und der Nebenbedingung
λ
∗
·
·∇
=
Mit
S
w
0 von oben ergibt
sich schließlich das endlichdimensionale Gleichungssystem
S
λ
∗
λ
0
U
0
+
w
=
(6.50)
w
T
λ
∗
=
0.
λ
∗
und
λ
0
Dieses ist eindeutig lösbar (siehe Übungsaufgabe 6.31), damit sind
bekannt.
u
∗
in (6.48) liefert nun Eindeutigkeit von
u
∗
bis auf konstante Funk-
tionen, die Festlegung dort geschieht durch
Die Identität für
−
Δ
λ
0
, also
N
i
=1
M
j
=1
λ
i
,
j
z
i
,
j
u
∗
=
+
λ
0
1
(6.51)
ist. Das Verfahren zur
H
1
-Interpolation lautet
mit
1
der Funktion, die konstant 1 auf
Ω
damit zusammengefasst:
