Variationsmethoden - Mathematische Bildverarbeitung - page 330

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∈ ∈ Π = dass A konstante Funktionen nicht auf 0 abbildet, für u K und v mit v 0

folgt also u . Es existiert nach

Satz 6.84 ein Minimierer u ∗ für das Funktional in (6.47), von dem man sich analog zu
Anwendungsbeispiel 6.98 überlegen kann, dass er eindeutig ist.

+

v /

∈

K . Dies gibt die gewünschte Koerzivität von Φ

Beim Studium der Minimierer u ∗ mittels konvexer Analysis stoßen wir auf ähnliche
Probleme wie schon in Anwendungsbeispiel 6.98: Die Einschränkung ist nicht ste-

tig und deswegen lässt sich die Summenregel für Subdifferentiale nicht ohne Weiteres
anwenden. Auch hier lässt sich Abhilfe schaffen.
Dafür stellen wir fest, dass es aufgrund der Surjektivität von A : H 1, p

Φ

R N×M

( Ω ) →

NM linear unabhängige Vektoren u i , j H 1, p

∈ (Ω) ≤ ≤ ≤ ≤

gibt (1 i N und 1 j M ), so

u i , j L q

dass die Einschränkung von A auf V

=

span

( ) ⊂ ( Ω )

bijektiv ist. Es existiert also

A − 1
V

A − V A gilt T 1 = und für T 1

=

T 1 sowie ker

(

T 1

)=

ker

(

A

)

. Für T 2

=

id

−

T 1 folgt

. Mit obigem u 1 ( )= ( )

damit rg T 2 ker A bildet nun

1
p

u 1

p d x

u

∈

V : u

→

Ω |∇ (

+

u

) |

in R ab und ist folglich stetig in V in der Relativtopologie (Satz 6.25). Genauso folgt die
Stetigkeit von u u 1 , in der Relativtopologie. Die Summe-

nidentität für Subdifferentiale ist damit gültig (siehe wieder Übungsaufgabe 6.14); ein
u ∗ ist genau dann Lösung von (6.47), wenn 0

→

I K (

+

u

)=

0 für u

∈

rg

(

T 2 )

∈ ∂ p · ◦∇ (

p
p

u ∗ )+ ∂I K ( u ∗ ) . Der erste

Summand liefert erneut den p -Laplace-Operator während für den zweiten Summanden
gilt:

ker

) ⊥ U 0 ( =

A falls Au

( )=

∂ I K u

∅ sonst.

Da A surjektiv ist, folgt mit dem Satz vom abgeschlossenem Bild (Satz 2.26) ker A ⊥ =
rg A ∗ )= w i , j , letzteres wegen w i , j A ∗ e i , j

(

span

( ) =

für 1

≤

i

≤

N und 1

≤

j

≤

M . Die

Optimalitätsbedingungen lauten damit: u ∗ ∈ L q

( Ω )

ist eine Lösung von (6.47), falls es

λ ∗ ∈

R N×M gibt, so dass
⎧
⎨

ein

div u ∗

N
i

M
j

u ∗ |

p − 2

= ∑

∑

=1 λ i , j w i , j

− |∇ ∇

in Ω

=1

u ∗ |

p − 2

u ∗ · ν =

|∇ ∇

0 auf ∂ Ω

(6.48)

⎩

≤ ≤

1 i N ,

u ∗ w i , j d x U i , j =

1

≤

j

≤

M . Ω

λ ∗ kann man als Lagrange-Multiplikatoren zur Nebenbedin- Die Komponenten von

U 0 auffassen (vergleiche mit Beispiel 6.48). Im Falle der Optimalität von
u ∗ unterliegen sie einer Einschränkung, integriert man nämlich die erste Gleichung
in (6.48), wie schon in Beispiel 6.93, auf beiden Seiten, so folgt

gung Au

=

j = 1 λ i , j

N
i = 1

M

Ω ∇ ∗ |∇

u ∗ d x u ∗ |

−

w i , j d x

p 2

= ∇ =

0,

Ω