Image Processing Reference
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→
(
)
i
,
j
im Dualraum von
Die Annahmen an
A
implizieren sofort, dass sich
u
Au
L
q
∗
L
q
befindet, sich also
w
i
,
j
(
Ω
)
∈
(
Ω
)
finden lassen, so dass
w
i
,
j
,
u
w
i
,
j
u
d
x
(
Au
)
i
,
j
=
L
q
∗
×L
q
=
Ω
L
q
für alle
u
gilt. Die Surjektivität von
A
ist damit gleichbedeutend mit der linea-
ren Unabhängigkeit von
w
i
,
j
; die Forderung danach, dass konstante Funktionen nicht
im Kern liegen, lässt sich mit dem Vektor
w
∈
(
Ω
)
R
N
×
M
, definiert durch
w
i
,
j
=
Ω
w
i
,
j
d
x
,
∈
0. In Anbetracht dessen ist es naheliegend,
w
i
,
j
ausdrücken als
w
=
(
x
1
,
x
2
)=
k
(
i
−
L
q
∗
R
2
−
)
∈
(
)
x
1
,
j
zu wählen. Dies entspricht einer Faltung mit
anschließender Punktauswertung, daher sollte
k
sinnvollerweise Tiefpasseigenschaften
haben, vgl. Abschnitt 4.2.3. Man kann nachrechnen, dass zum Beispiel
k
x
2
mit geeignetem
k
=
χ
]
0,1
[
×
]
0,1
[
den geforderten Eigenschaften an die Abbildung
A
genügt. In diesem Fall korrespon-
diert sie mit der Mittelung von
u
über die Quadrate
]
i
−
1,
i
[
×
]
j
−
1,
j
[
. Bei Verwendung
1
2
1
2
von
k
(
)=
(
−
)
(
−
)
ergibt sich der perfekte Tiefpassfilter zur Ab-
tastrate 1 bezüglich der Quadratmittelpunkte
x
1
,
x
2
sinc
x
1
sinc
x
2
1
1
2
, siehe Satz 4.35.
Die Bedingung, dass das gesuchte Bild
u
eine Interpolation sein soll, lässt sich nun
durch die Forderung
Au
(
i
−
2
,
j
−
)
U
0
realisieren. Diese trifft jedoch auf eine große Menge
an Bildern zu; genauer gesagt für einen unendlichdimensionalen affinen Teilraum von
L
q
=
. Wir wollen nun das Bild finden, welches am besten zu einem bestimmten Bild-
modell passt. Als Ansatz sei wieder der Sobolew-Raum
H
1,
p
(
Ω
)
(
Ω
)
für
p
∈
]
1,
∞
[
gewählt,
wobei wir annehmen, dass
q
≤
(
−
)
<
2/
2
p
gilt falls
p
2 ist. Dies führt zu dem Mini-
mierungsproblem
1
p
(Ω)
Av
=
U
0
p
d
x
Ω
|∇
|
+
}
(
)
min
u
I
u
.
(6.47)
{v∈L
q
∈
L
q
(
Ω
)
u
Untersuchen wir die Existenz einer Lösung durch Anwendung des Satzes 6.84 und set-
zen, wie in Anwendungsbeispiel 6.98,
(
Ω
)
Au
L
q
U
0
Φ
=
I
K
, diesmal mit
K
=
{
u
∈
=
}
.
Überprüfen wir nun die Voraussetzungen an
Φ
.
Klar ist, dass es ein
u
0
L
q
gibt mit
Au
0
U
0
. Wir wollen die Existenz ei-
∈
(
Ω
)
=
nes
u
1
H
1,
p
∈
(
Ω
)
mit dieser Eigenschaft zeigen. Dafür stellen wir zunächst fest, dass
A
:
H
1,
p
R
N×M
wegen der Einbettung
H
1,
p
L
q
(
Ω
)
→
(
Ω
)
→
(
Ω
)
(siehe Satz 6.76) wohl-
R
N
×
M
wäre nicht
surjektiv. Wegen der Endlichdimensionalität von
R
N×M
ist das Bild von
A
ein abge-
schlossener Unterraum, damit gälte also
definiert, linear und stetig ist. Nehmen wir nun an,
A
:
H
1,
p
(
Ω
)
→
U
0
H
1,
p
Au
−
≥
ε
für alle
u
∈
(
Ω
)
und ein
0. Nun ist
H
1,
p
dicht in
L
q
H
1,
p
ε >
(Ω)
(Ω)
enthalten, es gäbe folglich ein
u
∈
(Ω)
mit
u
0
q
<
2
−
1
, also
u
−
A
U
0
Au
0
u
0
A u
−
=
A u
−
≤
A
u
−
q
<
ε
,
surjektiv auf
R
N
×
M
abbilden, da-
ein Widerspruch. Der Operator
A
muss daher
H
1,
p
(
Ω
)
mit existiert ein
u
1
H
1,
p
mit
Au
1
U
0
. Insbesondere ist
eigentlich auf
H
1,
p
∈
(Ω)
=
(Ω)
Φ
.
Die Konvexität von
Φ
ist klar, die Unterhalbstetigkeit folgt mit der Stetigkeit von
A
A
−
1
U
0
=
(
{
}
)
aus der Darstellung
K
. Schließlich haben wir anfänglich vorausgesetzt,