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(
) i , j im Dualraum von
Die Annahmen an A implizieren sofort, dass sich u
Au
L q
L q
befindet, sich also w i , j
( Ω )
( Ω )
finden lassen, so dass
w i , j , u
w i , j u d x
(
Au
) i , j =
L q ×L q =
Ω
L q
für alle u
gilt. Die Surjektivität von A ist damit gleichbedeutend mit der linea-
ren Unabhängigkeit von w i , j ; die Forderung danach, dass konstante Funktionen nicht
im Kern liegen, lässt sich mit dem Vektor w
( Ω )
R N × M , definiert durch w i , j = Ω
w i , j d x ,
0. In Anbetracht dessen ist es naheliegend, w i , j
ausdrücken als
w
=
(
x 1 , x 2 )=
k
(
i
L q
R 2
)
(
)
x 1 , j
zu wählen. Dies entspricht einer Faltung mit
anschließender Punktauswertung, daher sollte k sinnvollerweise Tiefpasseigenschaften
haben, vgl. Abschnitt 4.2.3. Man kann nachrechnen, dass zum Beispiel k
x 2
mit geeignetem k
= χ ] 0,1 [ × ] 0,1 [
den geforderten Eigenschaften an die Abbildung A genügt. In diesem Fall korrespon-
diert sie mit der Mittelung von u über die Quadrate
]
i
1, i
[ × ]
j
1, j
[
. Bei Verwendung
1
2
1
2
von k
(
)=
(
)
(
)
ergibt sich der perfekte Tiefpassfilter zur Ab-
tastrate 1 bezüglich der Quadratmittelpunkte
x 1 , x 2
sinc
x 1
sinc
x 2
1
1
2
, siehe Satz 4.35.
Die Bedingung, dass das gesuchte Bild u eine Interpolation sein soll, lässt sich nun
durch die Forderung Au
(
i
2 , j
)
U 0 realisieren. Diese trifft jedoch auf eine große Menge
an Bildern zu; genauer gesagt für einen unendlichdimensionalen affinen Teilraum von
L q
=
. Wir wollen nun das Bild finden, welches am besten zu einem bestimmten Bild-
modell passt. Als Ansatz sei wieder der Sobolew-Raum H 1, p
( Ω )
( Ω )
für p
]
1,
[
gewählt,
wobei wir annehmen, dass q
(
)
<
2/
2
p
gilt falls p
2 ist. Dies führt zu dem Mini-
mierungsproblem
1
p
(Ω) Av = U 0
p d x
Ω |∇
|
+
} (
)
min
u
I
u
.
(6.47)
{v∈L q
L q
( Ω )
u
Untersuchen wir die Existenz einer Lösung durch Anwendung des Satzes 6.84 und set-
zen, wie in Anwendungsbeispiel 6.98,
( Ω ) Au
L q
U 0
Φ =
I K , diesmal mit K
= {
u
=
}
.
Überprüfen wir nun die Voraussetzungen an
Φ
.
Klar ist, dass es ein u 0
L q
gibt mit Au 0
U 0 . Wir wollen die Existenz ei-
( Ω )
=
nes u 1
H 1, p
( Ω )
mit dieser Eigenschaft zeigen. Dafür stellen wir zunächst fest, dass
A : H 1, p
R N×M wegen der Einbettung H 1, p
L q
( Ω )
( Ω )
( Ω )
(siehe Satz 6.76) wohl-
R N × M wäre nicht
surjektiv. Wegen der Endlichdimensionalität von R N×M ist das Bild von A ein abge-
schlossener Unterraum, damit gälte also
definiert, linear und stetig ist. Nehmen wir nun an, A : H 1, p
( Ω )
U 0
H 1, p
Au
ε
für alle u
( Ω )
und ein
0. Nun ist H 1, p
dicht in L q
H 1, p
ε >
(Ω)
(Ω)
enthalten, es gäbe folglich ein u
(Ω)
mit
u 0
q < 2
1 , also
u
A
U 0
Au 0
u 0
A u
=
A u
A
u
q < ε
,
surjektiv auf R N × M abbilden, da-
ein Widerspruch. Der Operator A muss daher H 1, p
( Ω )
mit existiert ein u 1
H 1, p
mit Au 1
U 0 . Insbesondere ist
eigentlich auf H 1, p
(Ω)
=
(Ω)
Φ
.
Die Konvexität von
Φ
ist klar, die Unterhalbstetigkeit folgt mit der Stetigkeit von A
A 1
U 0
=
( {
} )
aus der Darstellung K
. Schließlich haben wir anfänglich vorausgesetzt,
 
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