Image Processing Reference
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=
Für die Beschränkung
F
2
I
K
stellt sich die Berechnung des Subgradienten als einfach
heraus: Mit dem oben definierten Unterraum
X
2
u
0
wird
K
=
+
X
2
, es ergibt sich mit
Satz 6.51 und Beispiel 6.48
X
2
u
0
(
Ω
)
w
falls
u
|
Ω
\
Ω
=
|
Ω
\
Ω
L
q
∗
X
2
=
{
∂
F
2
(
u
)=
w
∈
|
Ω
=
0
}
.
(6.45)
∅
sonst,
Die Optimalitätsbedingungen für den Minimierer
u
∗
von (6.44) lauten damit
H
1,
p
0
u
∗
−
u
0
(
Ω
)
div
2
(
)
|
Ω
∈
,
u
∗
|
Ω
)
|∇
(
u
∗
|
Ω
)
|
p
−
X
2
∈−
∇
(
+
0
mit
u
∗
|
Ω
\
Ω
=
u
0
|
Ω
\
Ω
.
H
1,
p
0
Ω
\
Ω
mit Null fortgesetzt wird und
u
∗
−
u
0
Da die Divergenz auf
(
)
|
Ω
∈
(
Ω
)
genau
dann gilt, wenn
u
∗
|
Ω
∈
H
1,
p
(Ω
)
mit
u
∗
|
∂
Ω
=
u
0
|
∂
Ω
im Spurensinn, folgt schließlich
die Charakterisierung
⎧
⎨
u
∗
=
u
0
Ω
\
Ω
in
div
2
u
∗
|∇
u
∗
|
p
−
Ω
−
∇
=
0
in
(6.46)
⎩
u
∗
=
u
0
∂
Ω
.
auf
∂
Ω
bezüglich
Man beachte, dass die letzte Bedingung im Sinne der Spur von
u
0
auf
Ω
zu verstehen ist. Sie könnte damit von der Wahl von
u
0
in dem auszufüllenden Be-
Ω
abhängen. Wie man sich jedoch leicht überlegen kann, stimmen für Sobolew-
Funktionen
u
0
reich
Ω
\
Ω
überein. Folglich
ist die Lösung des Inpainting-Problems unabhängig von der „Hilfskonstruktion“
u
0
.
Die Optimalitätsbedingungen (6.46) zeigen wieder, dass
u
∗
in
H
1,
p
∂
Ω
bezüglich
Ω
und
∈
(Ω)
die Spuren auf
Ω
lokal glatt sein
muss: Mit derselben Argumentation, wie sie schon in den A
nwe
ndungsbeispielen 6.94
und 6.97 geführt wurde, folgt wieder
u
∗
∈
(
Ω
)
Ω
⊂⊂
Ω
, falls
p
H
2,
p
für jedes
<
2. Für
2 ist die Lösung
u
∗
in
Ω
harmonisch (Beispiel 6.4), also insbesondere
u
∗
∈C
∞
(
Ω
)
p
=
.
Der Fall
p
2 wird in einigen Originalarbeiten behandelt (siehe zum Beispiel [59] und
die dortigen Referenzen) und ergibt zumindest
u
∗
∈C
>
1
(Ω
)
. Der zweidimensionale Fall
(
d
2) liefert damit stets stetige Lösungen, die Inpaintingmethode ist daher nur für die
Rekonstruktion homogener Bereiche gut geeignet, siehe auch Abbildung 6.14.
=
Anwendungsbeispiel 6.100
(Variationelle Interpolation/Vergrößerung)
Es sei noch einmal die Aufgabe betrachtet, aus einem gegebenen diskreten Bild
U
0
:
R
ein kontinuierliches
u
∗
:
R
2
zu gewinnen. In Abschnitt 3.1.1 haben wir bereits einige effiziente Methoden dafür ken-
nengelernt. Während diese einer direkten Auswertung an den gegebenen Bildpunkten
zugrunde liegen, sei im Folgenden eine andere Herangehensweise vorgestellt.
Setzen wir zunächst voraus, uns sei die Abbildung
A
:
L
q
{
1, . . . ,
N
}×{
1,...,
M
}→
Ω
→
R
,
Ω
=]
0,
N
[
×
]
0,
M
[
⊂
R
N×M
,
q
,
bekannt, die einem kontinuierlichem Bild die diskreten Bildpunkte zuordnet. Es wird
zusätzlich angenommen, dass
A
linear, stetig und surjektiv ist. Weiterhin bilde
A
kon-
stante Funktionen nicht auf 0 ab, das wäre in Anbetracht der Interpretation als Ein-
schränkungsoperator nicht sinnvoll.
(
Ω
)
→
∈
]
1,
∞
[
