Image Processing Reference
In-Depth Information
Es sei schließlich noch auf die Möglichkeit der Verallgemeinerung auf Strafterme
höherer Ordnungen hingewiesen, also
m
≥
2 (Übungsaufgabe 6.29).
Anwendungsbeispiel 6.98
(Inpainting mit Sobolew-Strafterm)
Wenden wir uns noch der Rekonstruktion fehlender Bildteile, dem Inpainting zu. Be-
zeichne mit
Ω
⊂
Ω
Ω
ein besc
hrä
nktes Lipschitz-Gebiet und mit
ein beschränktes
Ω
⊂⊂
Ω
Lipschitz-Teilgebiet mit
, auf dem ein Bild rekonstruiert werden soll, dessen
Ω
\
Ω
bekannt ist. Der Einfachheit halber wird hier angenommen,
dass nur auf einer zusammenhängenden Menge
Information nur auf
Ω
rekonstruiert werden soll; die Über-
Ω
als die Vereinigung endlich vieler disjunkter Lipschitz-
tragung der Ergebnisse auf
Teilgebiete ist offensichtlich.
Unser Bildmodell soll diesmal der Sobolew-Raum
H
1,
p
(
Ω
)
mit
p
∈
]
1,
∞
[
sein, wir
nehmen an, dass sich das „wahre“ Bild
u
†
in
H
1,
p
(Ω)
befindet und setzen die Existenz
eines
u
0
Ω
\
Ω
. Die variatio-
nelle Inpainting-Aufgabe ist dann das Finden einer Fortsetzung
u
∗
auf
H
1,
p
voraus, für welches
u
†
u
0
∈
(
Ω
)
=
fast-überall auf
Ω
mit kleinster
Sobolew-Halbnorm, also das Lösen von
1
p
(Ω)
v|
Ω
\
Ω
=
u
0
p
d
x
Ω
|∇
|
+
|
Ω
\
Ω
}
(
)
min
u
I
u
(6.43)
{v∈L
q
L
q
∈
(
Ω
)
u
für ein
q
d
. Dieses Minimierungsproblem fällt nicht
in die Klasse der bisher betrachteten Tichonow-Funktionale, die Situation wird aber
von Satz 6.84 abgedeckt. Die Menge
K
∈
]
1,
∞
[
mit
q
≤
d
/
(
d
−
p
)
falls
p
<
(
Ω
)
v
Ω
\
Ω
}
L
q
u
0
=
{
v
∈
=
fast-überall auf
ist
konvex und abgeschlossen und hat nichtleeren Schnitt mit
H
1,
p
(Ω)
, das zugehörige In-
dikatorfunktional
I
K
erfüllt, bis auf die Koerzivität, die geforderten Eigenschaften.
Letztere folgt aber sofort aus der Feststellung, dass für
u
Φ
=
1
mit
v
∈
∈
Π
=
K
und
v
0 stets
p
t
p
, die Voraussetzungen für Satz 6.84 erfüllt und
die Existenz eines Minimierers
u
∗
gesichert.
Da nun
1
u
+
v
/
∈
K
gilt. Damit sind, mit
ϕ
(
t
)=
1
unterscheiden, dies
ist aber nach der Definition von
K
ausgeschlossen. Der Minimierer
u
∗
muss demnach
eindeutig sein.
ϕ
strikt konvex ist, können sich Lösungen nur in
Π
Studieren wir die Eigenschaften der Minimierer von (6.43). Es ist leicht zu sehen,
dass für
u
∗
wieder einem Maximumprinzip genügt: Ist
L
Ω
\
Ω
,
u
0
≤
≤
R
fast-überall in
u
∗
≤
so muss
L
≤
R
fast-überall in
Ω
gelten, denn analog zum Beweis von Satz 6.95
min
R
, max
L
,
u
∗
)
ebenfalls das Minimum
lässt sich zeigen, dass die Funktion
u
=
(
realisiert. Wegen der Eindeutigkeit gilt
u
∗
=
u
und damit das Behauptete.
Bei der Herleitung von Optimalitätsbedingungen durch Subdifferentiation stellt sich
allerdings ein Problem: Das Indikatorfunktional zur Beschränkung
v
u
0
=
fast-überall
Ω
\
Ω
ist nicht stetig in
L
q
in
(
Ω
)
, genauso wenig wie die
p
-te Potenz der Halbnorm
p
p
. Damit ergeben sich Schwierigkeiten in Bezug auf die Anwendung von Satz 6.51.
Um dennoch die Additivität des Subdifferentials zu bekommen, leiten wir eine äquiva-
lente Version von (6.43) her. Als Vorbereitung dient folgendes Lemma.
∇
u
