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Lemma 6.99
Sei
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, m
≥
1
und p
∈
[
1,
∞
[
.
H
m
,
p
R
d
1.
Gilt für u
∈
(
)
die Identität u
|
R
d
\
Ω
=
0
, so ist u die Nullfortsetzung eines
H
m
,
p
0
u
0
∈
(
Ω
)
.
H
m
,
p
m
−
1
u auf
2.
Verschwinden, für ein u
∈
(
Ω
)
, die Spuren von u
,
∇
u
,...,
∇
∂
Ω
,soist
H
m
,
p
0
u
∈
(
Ω
)
.
Der
Beweis
benutzt erneut die Approximationstechniken, die wir schon in den Sät-
zen 6.74 sowie 6.88 kennengelernt haben und stellt daher eine leichte Übung dar, siehe
Übungsaufgabe 6.30.
Betrachten wir nun
u
Ω
\
Ω
. Damit ist die
H
1,
p
u
0
∈
(
Ω
)
mit
u
=
fast-überall auf
u
0
in
H
1,
p
R
d
=
−
(
)
=
Nullfortsetzung der Differenz
v
u
mit
v
0 fast-überall außerhalb
H
1,
p
0
Ω
. Mit Lemma 6.99 folgt
v
(
Ω
)
, also stimmen die Spuren von
u
und
u
0
von
∈
auf
∂
Ω
überein. Gilt andererseits für
u
H
1,
p
(Ω
)
∈
, dass die Spur von
u
gleich der Spur
H
1,
p
0
von
u
0
∂
Ω
ist, so impliziert Lemma 6.99, dass
u
u
0
auf
−
∈
(
Ω
)
sein muss. Die
Ω
ist damit in
H
1,
p
Fortsetzung von
u
mit
u
0
außerhalb von
(
Ω
)
enthalten. Wir haben
also gezeigt, dass
u
H
1,
p
u
0
{
∈
(Ω)
|
Ω
\
Ω
=
|
Ω
\
Ω
}
u
(Ω)
u
H
1,
p
0
L
q
u
0
u
0
(Ω
)
}
=
{
∈
|
Ω
\
Ω
=
|
Ω
\
Ω
,
(
−
)
|
Ω
∈
u
u
u
(Ω
)
L
q
u
0
H
1,
p
u
0
=
{
∈
(Ω)
|
Ω
\
Ω
=
|
Ω
\
Ω
,
u
|
Ω
∈
|
∂
Ω
=
|
∂
Ω
}
u
,
u
∂
Ω
als Spur bezüglich
Ω
zu verstehen ist. Dadurch mo-
wobei die Einschränkung auf
zwischen
L
q
(
Ω
)
und
L
p
(
Ω
)
tiviert führen wir den linearen Operator
∇
0
ein:
H
1,
p
0
(
Ω
)
⊂
(
Ω
)
(
Ω
)
L
q
u
in
L
p
dom
∇
0
=
,
∇
0
u
=
∇
.
enthält
H
1,
p
0
Der Raum
L
q
(
Ω
)
(
Ω
)
∇
0
ist demnach dicht definiert.
Die Abbildung ist darüber hinaus abgeschlossen: Zum Nachweis sei
u
n
als dichten Teilraum,
H
1,
p
0
(
Ω
)
∈
mit
(
Ω
)
(
Ω
,
R
d
u
n
u
in
L
q
∇
0
u
n
v
in
L
p
→
sowie
→
)
. Es folgt sofort
v
=
∇
u
(siehe Lem-
H
1,
p
0
zu zeigen. Stelle dazu fest, dass
Q
1
u
n
∈
(Ω)
→
ma 6.73), es bleibt nur
u
Q
1
u
in
L
p
1
(
Ω
)
aufgrund der Äquivalenz der Normen in
Π
und nach der Poincaré-Wirtinger-
u
n
u
n
(
−
)
p
≤
∇
(
−
)
p
→
→
∞
Ungleichung (siehe (6.35))
P
1
u
C
u
0 für
n
. Es kon-
und da
H
1,
p
0
(
Ω
)
(
Ω
)
vergiert also
u
n
u
in
H
1,
p
→
ein abgeschlossener Unterraum ist,
H
1,
p
0
(
Ω
)
folgt
u
∇
0
abgeschlossen.
Wir können also (6.43) äquivalent umformen zu
∈
. Damit ist
∇
0
(
)
|
Ω
+
∇
u
0
1
p
p
d
x
(
Ω
)
v
|
Ω
\
Ω
=
u
0
u
0
min
u
−
+
I
|
Ω
\
Ω
}
(
u
)
,
(6.44)
L
q
{
∈
v
L
q
u
∈
(Ω)
Ω
wobei wir das Bild von
fortsetzen. Der Unterschied dieser
Formulierung zu (6.43) besteht nun darin, dass das Funktional
∇
0
implizit mit 0 auf ganz
Ω
∇
0
(
)
|
Ω
+
∇
u
0
1
p
p
d
x
u
0
F
1
(
u
)=
u
−
Ω