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Lemma 6.99
Sei
Ω
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, m
1 und p
[
1,
[
.
H m , p
R d
1.
Gilt für u
(
)
die Identität u
| R d
\ Ω =
0 , so ist u die Nullfortsetzung eines
H m , p
0
u 0
( Ω )
.
H m , p
m
1 u auf
2.
Verschwinden, für ein u
( Ω )
, die Spuren von u ,
u ,...,
Ω
,soist
H m , p
0
u
( Ω )
.
Der Beweis benutzt erneut die Approximationstechniken, die wir schon in den Sät-
zen 6.74 sowie 6.88 kennengelernt haben und stellt daher eine leichte Übung dar, siehe
Übungsaufgabe 6.30.
Betrachten wir nun u
Ω \ Ω . Damit ist die
H 1, p
u 0
( Ω )
mit u
=
fast-überall auf
u 0
in H 1, p
R d
=
(
)
=
Nullfortsetzung der Differenz v
u
mit v
0 fast-überall außerhalb
H 1, p
0
Ω . Mit Lemma 6.99 folgt v
( Ω )
, also stimmen die Spuren von u und u 0
von
auf
Ω überein. Gilt andererseits für u
H 1, p
)
, dass die Spur von u gleich der Spur
H 1, p
0
von u 0
Ω ist, so impliziert Lemma 6.99, dass u
u 0
auf
( Ω )
sein muss. Die
Ω ist damit in H 1, p
Fortsetzung von u mit u 0
außerhalb von
( Ω )
enthalten. Wir haben
also gezeigt, dass
u
H 1, p
u 0
{
(Ω)
| Ω \ Ω =
| Ω \ Ω }
u
(Ω) u
H 1, p
0
L q
u 0
u 0
) }
= {
| Ω \ Ω =
| Ω \ Ω ,
(
) | Ω
u
u
u
)
L q
u 0
H 1, p
u 0
= {
(Ω)
| Ω \ Ω =
| Ω \ Ω , u
| Ω
| Ω =
| Ω }
u
, u
Ω als Spur bezüglich
Ω zu verstehen ist. Dadurch mo-
wobei die Einschränkung auf
zwischen L q
( Ω )
und L p
( Ω )
tiviert führen wir den linearen Operator
0
ein:
H 1, p
0
( Ω )
( Ω )
( Ω )
L q
u in L p
dom
0 =
,
0 u
=
.
enthält H 1, p
0
Der Raum L q
( Ω )
( Ω )
0 ist demnach dicht definiert.
Die Abbildung ist darüber hinaus abgeschlossen: Zum Nachweis sei u n
als dichten Teilraum,
H 1, p
0
( Ω )
mit
( Ω )
( Ω , R d
u n
u in L q
0 u n
v in L p
sowie
)
. Es folgt sofort v
=
u (siehe Lem-
H 1, p
0
zu zeigen. Stelle dazu fest, dass Q 1 u n
(Ω)
ma 6.73), es bleibt nur u
Q 1 u in
L p
1
( Ω )
aufgrund der Äquivalenz der Normen in
Π
und nach der Poincaré-Wirtinger-
u n
u n
(
) p
(
) p
Ungleichung (siehe (6.35))
P 1
u
C
u
0 für n
. Es kon-
und da H 1, p
0
( Ω )
( Ω )
vergiert also u n
u in H 1, p
ein abgeschlossener Unterraum ist,
H 1, p
0
( Ω )
folgt u
0 abgeschlossen.
Wir können also (6.43) äquivalent umformen zu
. Damit ist
0 (
) | Ω +
u 0
1
p
p d x
( Ω ) v | Ω \ Ω = u 0
u 0
min
u
+
I
| Ω \ Ω } (
u
)
,
(6.44)
L q
{
v
L q
u
(Ω)
Ω
wobei wir das Bild von
fortsetzen. Der Unterschied dieser
Formulierung zu (6.43) besteht nun darin, dass das Funktional
0 implizit mit 0 auf ganz
Ω
0 (
) | Ω +
u 0
1
p
p d x
u 0
F 1
(
u
)=
u
Ω
 
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