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Die Euler-Lagrange-Gleichungen zu diesem Problem findet man ähnlich zu Anwen-
dungsbeispiel 6.94. Um den Subgradient des Datenterms
q
q
ausrech-
nen zu können, ist allerdings die Beschäftigung mit der Adjungierten
A
∗
nötig (siehe
Satz 6.51): Für ein
w
1
q
u
0
Φ
=
A
·−
L
q
∗
(Ω
)
∈
folgt
w
(
x
)(
u
∗
k
)(
x
)
d
x
=
u
(
y
)
k
(
x
−
y
)
w
(
x
)
d
y
d
x
Ω
Ω
Ω
=
w
(
x
)
k
(
x
−
y
)
d
xu
(
y
)
d
y
Ω
Ω
=
Ω
(
∗
)(
)
(
)
w
D
id
k
y
u
y
d
y
,
−
die Operation
A
∗
entspricht also einer Nullfortsetzung von
w
und anschließender Fal-
tung mit dem „gespiegeltem“ Faltungskern
k
=
D
id
k
. Führt man der Übersichtlichkeit
−
ein, so ist
u
∗
ein Minimierer genau
halber eine zusätzliche Variable für Elemente von
∂
Φ
dann, wenn
⎧
⎨
div
v
∗
− λ
u
∗
|
p
−
2
u
∗
)=
|∇
∇
0
)
∗
k
u
∗
∗
u
0
q
−
2
u
∗
∗
u
0
v
∗
|
−
|
(
−
=
k
k
in
Ω
(6.42)
⎩
u
∗
|
p
−
2
u
∗
· ν
=
|∇
∇
0
auf
∂
Ω
.
Anders als bei (6.40) lässt sich
u
∗
nicht als die Lösung einer partiellen Differentialglei-
chung auffassen: Das Gleichungssystem beinhaltet sowohl eine partielle Differential-
gleichung mit dem
p
-Laplace-Operator, als auch eine Gleichung mit einem Integralope-
rator, genauer gesagt der Faltung. Möchte man Eigenschaften der Lösung
u
∗
analysie-
ren, kann man sich aber auf den
p
-Laplace-Operator beschränken.
Nimmt man beispielsweise an, dass
k
gilt, so folgt
v
∗
∈C
(
Ω
)
, denn
v
∗
L
q
∈
(
Ω
0
)
L
q
∗
k
u
∗
∗
u
0
q
−
2
u
∗
∗
u
0
(Ω
)
L
q
(
−
Ω
0
)
nach Satz 3.14 stetig. Wie schon bei der Analysis der Lösungen von (6.40) ka
nn
man für
p
|
−
|
(
−
)
∈
∈
ist als Faltungsprodukt aus
k
k
und
2 mit den Resultaten aus [130] folgern, dass
u
∗
∈
H
2,
p
(Ω
)
≤
Ω
⊂⊂
Ω
für jedes
2 jede Lösung
u
∗
stets stetig sein, qualitativ können wir also
ähnliche Eigenschaften wie beim Entrauschen durch Lösen von (6.39) erwarten.
Dies zeigen auch die numerischen Ergebnisse für diese Entfaltungsmethode in Ab-
bildung 6.13. Dort wird
q
gilt. Analog muss für
d
=
2 kann man neben
dem Einfluss des Rauschens auch Artefakte der Entfaltung erkennen: Die Lösung oszil-
liert in der Umgebung von starken Kontrastunterschieden, vor allem entlang der Kon-
tur der Pinguine. Eine intuitive Erklärung dafür ist das Fehlen eines Maximumprinzips:
Gälte ein solches, ergäben Oszillationen durch „Überschwinger“ einen Widerspruch, sie
können also nicht auftreten. Für
p
nahe an 1 ist ebenfalls eine qualitative Veränderung
der Lösungen analog zu Abbildung 6.11 zu erkennen.
Um ein Maximumprinzip zu erzwingen ist es möglich, für
u
0
=
2 fest gewählt und
p
variiert. Für
p
=
u
0
≤
≤
mit
L
R
die
Beschränkungen an
L
R
einfach durch Addition eines entsprechenden Indika-
torfunktionals
I
K
hinzufügen. Der Nachweis der Existenz eines Minimierers in
L
q
≤
u
≤
(
Ω
)
kann leicht geführt werden (Übungsaufgabe 6.28), Schwierigkeiten gibt es allerdings
bei den Optimalitätsbedingungen: Man muss den Subgradienten
∂
I
K
als Teilmenge von
(Ω)
∗
auffassen und nicht, wie bisher, als Teilmenge von
L
q
∗
H
1,
p
(Ω)
.
