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Bemerkung 6.92
Man sieht leicht, dass der Fall
p
=
2 dem negativen Laplace-Operator auf Funktionen
1
2
2
2
∇
· ν
=
∇·
=
−
Δ
u
entspricht, die auf dem Rand
u
0 erfüllen,
∂
. Die Verallge-
meinerung auf
p
∈
]
1,
∞
[
wird daher
p-Laplace-Operator
genannt, man kann also sagen,
p
p
dem
p
-Laplace-Operator auf Funktionen mit Randbe-
1
p
∇·
dass der Subgradient
∂
−
p
2
dingungen
|∇
u
|
∇
u
·
ν
=
0 entspricht.
Beispiel 6.93
(Lösung der
p
-Laplace-Gleichung)
Eine unmittelbare Anwendung der Ergebnisse ist der Nachweis der Existenz und Ein-
deutigkeit von Lösungen der
p
-Laplace-Gleichung. Für
Ω
ein beschränktes Lipschitz-
L
q
∗
Gebiet, 1
<
p
≤
q
<
∞
,
q
≤
d
/
(
d
−
p
)
falls
p
<
d
, und
f
∈
(
Ω
)
betrachte das
Minimierungsproblem
1
p
(
Ω
)
Ω
p
d
x
min
Ω
|∇
u
|
−
fu
d
x
+
I
}
(
u
)
.
(6.38)
{
∈
L
q
=
v
v
d
x
0
L
q
u
∈
(Ω)
Ω
)
⊥
. Wir wollen Satz 6.84 anwenden mit
1
Die Restriktion entspricht genau
u
∈
(
Π
Φ(
)=
−
+
)
⊥
(
)
u
fu
d
x
I
u
,
1
(Π
Ω
1
p
t
p
. Dazu stellen wir fest, dass
eigentlich auf
H
1,
p
und
.
Konvexität und Unterhalbstetigkeit lassen sich unmittelbar zeigen, Koerzivität folgt
schließlich daraus, dass für
u
ϕ
(
t
)=
Φ
(
0
)=
0, also ist
Φ
(
Ω
)
L
q
1
∈
(
Ω
)
und
v
∈
Π
(also konstant) mit
v
=
0 gilt:
, denn
Ω
Φ(
+
)=∞
+
=
0. Damit sind die Voraussetzungen von Satz 6.84
erfüllt und das Minimierungsproblem besitzt eine Lösung
u
∗
, die bis auf Anteile in
u
v
u
v
d
x
1
Π
eindeutig sein muss. Eine von
u
∗
verschiedene Lösung
u
∗∗
würde
u
∗∗
=
u
∗
+
v
mit
1
,
v
u
∗∗
)=∞
∈
Π
=
Φ(
v
0 genügen, damit würde
folgen, ein Widerspruch. Der Mini-
mierer ist damit eindeutig.
Leiten wir nun die Optimalitätsbedingungen für
u
∗
her. Hier ergibt sich eine klei-
ne Schwierigkeit, denn weder der Sobolew-Term
sind stetig, die Vorausset-
zungen für die Summenregel in Satz 6.51 können also nicht erfüllt werden. Wir stellen
jedoch fest, dass sowohl
u
Ψ
noch
Φ
→
Ψ
(
Q
1
u
)
also auch
u
→
Φ
(
P
1
u
)
stetig sind. Da für alle
L
q
u
∈
(
Ω
)
gilt
u
=
P
1
u
+
Q
1
u
, können wir die Aussage aus Übungsaufgabe 6.14 ver-
u
∗
)+
∂
Φ
(
u
∗
)
wenden und bekommen: 0
∈
∂
Ψ
(
. Nach Lemma 6.91 kennen wir
∂
Ψ
; be-
→
Ω
u
∗
)
rechnen wir daher
∂
Φ
(
.Da
u
fu
d
x
stetig ist, liefern Satz 6.51 und Beispiel 6.48
falls
Ω
1
−
+Π
=
f
u
d
x
0
∂
Φ(
)=
u
∅
sonst,
denn
)
⊥
⊥
= Π
1
1
. Damit ist ein
u
∗
optimal genau dann, wenn es ein
λ
∗
∈
(Π
R
gibt,
so dass gilt:
div
u
∗
⎧
⎨
u
∗
|
p
−
2
−
λ
∗
1
−
|∇
∇
=
f
in
Ω
,
u
∗
|
p
−
2
u
∗
·
ν
=
|∇
∇
0
auf
∂
Ω
,
⎩
Ω
u
∗
d
x
=
0,
