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Es folgt nun mit dem Satz vom abgeschlossenem Bild (Satz 2.26) die Identität
L
q
∗
m
)
∗
)=
m
)
⊥
⊂
m
m
(siehe Lemma 6.79), ist dies
rg
((
∇
ker
(
∇
(
Ω
)
. Da aber ker
∇
=
Π
äquivalent zu
w
m
.
L
q
∗
m
)
∗
)=(
Π
m
)
⊥
=
x
α
d
x
rg
((
∇
∈
(
Ω
)
w
(
x
)
=
0 für alle
α
∈
N
mit
|
α
| <
Ω
∇
∗
=
≥
Insbesondere können wir für
m
1 und
p
q
mithilfe der Charakterisierung von
bestimmte Divergenzgleichungen lösen. Die Gleichung
−
div
v
=
w
in
Ω
L
q
∗
w
∈
(
Ω
)
,
w
d
x
=
0:
· ν
=
v
0
auf
∂
Ω
Ω
L
p
∗
,
R
d
besitzt eine Lösung in
v
∈
(
Ω
)
.
Schließlich sind wir nun in der Lage, den Subgradienten des Funktionals
u
→
p
p
auszurechnen.
1
p
∇
u
Lemma 6.91
Für
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet,
1
Ω
⊂
<
p
≤
q
<
∞
,
∇
als abgeschlossene Abbil-
dung zwischen L
q
und L
p
,
R
d
mit Definitionsbereich H
1,
p
(
Ω
)
(
Ω
)
(
Ω
)
und
p
∇
p
p
H
1,
p
∈
(Ω)
u
falls u
Ψ
(
u
)=
∞
sonst
L
q
gilt für u
∈
(
Ω
)
:
⎧
⎨
⎧
⎨
L
p
,
R
d
∇
∈
(Ω
)
u
,
div
u
falls
div
u
L
q
∗
p
−
2
−
−
|∇
u
|
∇
p
2
|∇
u
|
∇
∈
(
Ω
)
,
⎩
∂
Ψ
(
u
)=
p
−
2
|∇
|
∇
· ν
=
⎩
und
u
u
0
auf
∂
Ω
∅
sonst
.
p
p
1
p
definiert auf
L
p
,
R
d
Beweis.
Das konvexe Funktional
F
(
v
)=
v
(
Ω
)
ist als
p
-te Po-
(
∇
)
Ψ =
tenz einer Norm überall stetig, insbesondere in jedem Punkt von rg
. Es ist
∂
Ψ
=
∇
∗
◦
∂
F
im Sinne von De-
finition 6.41 anwenden (siehe Übungsaufgabe 6.12). Nun folgt nach der Subdifferentia-
tionsregel für konvexe Integration (Beispiel 6.50) sowie der Gâteaux-Differenzierbarkeit
von
◦∇
, daher können wir die Subgradientenidentität
F
◦∇
1
p
p
ξ →
|ξ|
1
p
|
p
d
x
p
−
2
v
F
(
v
)=
v
(
x
)
|
⇒
∂
F
(
v
)=
{|
v
|
}
Ω
−
H
1,
p
p
2
und damit
∂
Ψ
(
u
)
=
∅
genau dann, wenn
u
∈
dom
∇
=
(
Ω
)
sowie
|∇
u
|
∇
u
∈
∇
∗
. Letzteres lässt sich nach Satz 6.88 beziehungsweise Bemerkung 6.89 durch
dom
L
q
∗
p
−
2
p
−
2
div
(
|∇
u
|
∇
u
)
∈
(
Ω
)
mit
|∇
u
|
∇
u
·
ν
=
0 auf
∂
Ω
ausdrücken. Es folgt, dass i
n
)=
∇
∗
◦ ∂
∂
Ψ(
(
∇
)
diesem Fall
u
F
u
gilt und damit der behaupteten Identität genügt.
