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Dies wäre ein Widerspruch zu Obigem, daher können wir dort schwache Konvergenz
durch starke Konvergenz ersetzen und bekommen dom
= D
1
div , was zu zeigen w ar.
Bemerkung 6.89
Der Definitionsbereich für die Adjungierte
lässt sich auf eine weitere Art interpre-
tieren. Dafür betrachten w ir gewisse Randwerte auf
Ω
.
∈C ( Ω
, R d
L 1
H
∈C ( Ω )
Gilt für ein w
)
und v
( Ω )
für alle u
die Identität
d
1
d
1
uv d
H
=
u div w
+
u
·
w d x ,
Ω
Ω
d
1 -fast-überall gelten, denn nach dem Gaußschen Integral-
=
· ν
so muss v
w
auf
Ω H
satz ist
d
1
∈C ( Ω )
u
(
v
w
· ν )
d
H
=
0
für alle
u
Ω
und es folgt mit Satz 2.73 und dem Fundamentallemma der Variationsrechnung (Lem-
ma 2.75), dass v
d
1 -fast-überall auf
· ν =
. Dies motiviert eine allgemeinere
Definition der sogenannten Normalenspur auf dem Rand.
Wir sagen, ein v
w
0
H
Ω
L p
L 1
H
, R d
( Ω)
)
ist die Normalensp ur des Vektorfeldes w
1
d
L q
w in L p
w n
C ( Ω
, R d
mit w n
, R d
mit div w
( Ω )
, falls es eine Folge
(
)
in
)
( Ω
)
,
div w in L q
div w n
und w n
v in L 1
H
∈C (Ω)
(Ω)
· ν →
( Ω)
gibt, so dass für alle u
d
1
gilt:
d
1
uv d
H
=
u div w
+
u
·
w d x .
Ω
Ω
In diesem Fall notieren wir v
=
· ν
. Man bemerke, dass die Definition dem
Abschluss der Normalenspur für glatte Vektorfelder w bezüglich
w
auf
Ω
w
p +
div w
q
· ν ) | Ω 1 entspricht.
Nach der Definition der Adjungierten und Satz 6.88 ist dom
(
sowie
w
nun genau die Men-
ge, für die die Normalenspur am Rand verschwindet. Man kann also vereinfacht sagen:
=
{
· ν =
Ω }
div
definiert auf
w
0 auf
.
Bemerkung 6.90
Der abgeschlossene Operator
m zwischen L q
und L p
, R d
( Ω )
( Ω
)
auf dem beschränkten
Lipschitz-Gebiet
Ω
mit q
pd /
(
d
mp
)
falls mp
<
d hat ein abgeschlossenes Bild: Ist
, R d m
u n
eine Folge in L q
m u n
L p
(
)
( Ω )
derart, dass lim n
=
v für ein v
( Ω
)
, so stellt
P m u n
(
)
eine Cauchy-Folge dar, denn die Poincaré-Wirtinger-Ungleichung (6.35) und die
Einbettung in L q
( Ω )
(Satz 6.76) ergeben
P m u n 1
P m u n 2
m u n 1
m u n 2
C
−∇
q
p
P m u n
=
für n 1 , n 2
n 0 und n 0 beliebig. Damit existiert ein Grenzwert lim n→
u in
L q
m
P m u n
m u n
( Ω )
.Danun
(
)=
folgt mit der Abgeschlossenheit des schwachen
m u
m
=
(
)
Gradienten
v . Das Bild rg
ist also abgeschlossen.
 
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