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Dies wäre ein Widerspruch zu Obigem, daher können wir dort schwache Konvergenz
durch starke Konvergenz ersetzen und bekommen dom
∇
∗
=
D
1
div
, was zu zeigen w
ar.
Bemerkung 6.89
Der Definitionsbereich für die Adjungierte
∇
∗
lässt sich auf eine weitere Art interpre-
tieren. Dafür betrachten
w
ir gewisse Randwerte auf
∂
Ω
.
∈C
∞
(
Ω
,
R
d
L
1
H
∈C
∞
(
Ω
)
Gilt für ein
w
)
und
v
∈
(
∂
Ω
)
für alle
u
die Identität
d
−
1
d
−
1
uv
d
H
=
u
div
w
+
∇
u
·
w
d
x
,
∂
Ω
Ω
d
−
1
-fast-überall gelten, denn nach dem Gaußschen Integral-
=
· ν
so muss
v
w
auf
∂
Ω H
satz ist
d
−
1
∈C
∞
(
Ω
)
u
(
v
−
w
·
ν
)
d
H
=
0
für alle
u
∂
Ω
und es folgt mit Satz 2.73 und dem Fundamentallemma der Variationsrechnung (Lem-
ma 2.75), dass
v
d
−
1
-fast-überall auf
−
· ν
=
. Dies motiviert eine allgemeinere
Definition der sogenannten Normalenspur auf dem Rand.
Wir sagen, ein
v
w
0
H
∂
Ω
L
p
∗
L
1
H
,
R
d
∈
(
∂
Ω)
∈
(Ω
)
ist die
Normalensp
ur
des Vektorfeldes
w
−
1
d
L
q
∗
w
in
L
p
∗
w
n
C
∞
(
Ω
,
R
d
mit
w
n
,
R
d
mit div
w
∈
(
Ω
)
, falls es eine Folge
(
)
in
)
→
(
Ω
)
,
div
w
in
L
q
∗
div
w
n
und
w
n
v
in
L
1
H
∈C
∞
(Ω)
→
(Ω)
· ν →
(
∂
Ω)
gibt, so dass für alle
u
−
d
1
gilt:
d
−
1
uv
d
H
=
u
div
w
+
∇
u
·
w
d
x
.
∂
Ω
Ω
In diesem Fall notieren wir
v
=
· ν
. Man bemerke, dass die Definition dem
Abschluss der Normalenspur für glatte Vektorfelder
w
bezüglich
w
auf
∂
Ω
w
p
∗
+
div
w
q
∗
· ν
)
|
∂
Ω
1
entspricht.
Nach der Definition der Adjungierten und Satz 6.88 ist dom
(
sowie
w
∇
∗
nun genau die Men-
ge, für die die Normalenspur am Rand verschwindet. Man kann also vereinfacht sagen:
∇
∗
=
−
{
· ν
=
∂
Ω
}
div
definiert auf
w
0 auf
.
Bemerkung 6.90
Der abgeschlossene Operator
m
zwischen
L
q
und
L
p
,
R
d
∇
(
Ω
)
(
Ω
)
auf dem beschränkten
Lipschitz-Gebiet
Ω
mit
q
≤
pd
/
(
d
−
mp
)
falls
mp
<
d
hat ein abgeschlossenes Bild: Ist
,
R
d
m
u
n
eine Folge in
L
q
m
u
n
L
p
(
)
(
Ω
)
derart, dass lim
n
→
∞
∇
=
v
für ein
v
∈
(
Ω
)
, so stellt
P
m
u
n
(
)
eine Cauchy-Folge dar, denn die Poincaré-Wirtinger-Ungleichung (6.35) und die
Einbettung in
L
q
(
Ω
)
(Satz 6.76) ergeben
P
m
u
n
1
P
m
u
n
2
m
u
n
1
m
u
n
2
−
≤
C
∇
−∇
q
p
P
m
u
n
≥
=
für
n
1
,
n
2
n
0
und
n
0
beliebig. Damit existiert ein Grenzwert lim
n→
∞
u
in
L
q
m
P
m
u
n
m
u
n
(
Ω
)
.Danun
∇
(
)=
∇
folgt mit der Abgeschlossenheit des schwachen
m
u
m
∇
=
(
∇
)
Gradienten
v
. Das Bild rg
ist also abgeschlossen.