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L
q
∗
∈
(Ω)
wobei
1
die Funktion bezeichnet, die konstant den Wert 1 annimmt. Den Wert
λ
∗
können wir ausrechnen: Integriert man die Gleichung in
Ω
auf beiden Seiten, so folgt
Ω
∇
∗
|∇
u
∗
d
x
−
λ
∗
|
Ω
|
=
u
∗
|
−
p
2
f
d
x
∇
=
0,
Ω
λ
∗
=
|
Ω
|
−
1
Ω
also
f
d
x
was dem Mittelwert entspricht. Zusammengefasst haben wir
beweisen:
Für jedes
f
mit
Ω
L
q
∗
L
q
∈
(
Ω
)
f
d
x
=
0 existiert eine eindeutige Lösung
u
∈
(
Ω
)
der nichtlinearen partiellen Differentialgleichung
⎧
⎨
div
u
p
−
2
−
|∇
u
|
∇
=
f
in
Ω
,
p
−
2
|∇
u
|
∇
u
·
ν
=
0
auf
∂
Ω
,
⎩
Ω
u
d
x
=
0.
Die Lösung
u
entspricht genau dem Minimierer von (6.38).
6.3.2 Anwendungsbeispiele
Die bisher erarbeitete Theorie der konvexen Minimierung mit Sobolew-Strafterm bietet
nun einen allgemeinen Rahmen für die im Abschnitt 6.1 motivierte Herangehensweise
an Bildverarbeitungsaufgaben. Im Folgenden kommen wir noch einmal auf die moti-
vierenden Probleme zurück und stellen einige darüber hinaus gehende Beispiele vor.
Anwendungsbeispiel 6.94
(Entrauschen mit
L
q
-Daten und
H
1,
p
-Strafterm)
Betrachten wir das Entrauschproblem auf einem beschränkten Lipschitz-Gebiet
Ω
⊂
R
d
. Wir nehmen an, 1
. Sei ein rauschbehaftetes Bild
u
0
L
q
<
≤
<
∞
∈
(Ω)
p
q
und
λ
>
0 gegeben, das nun durch die Lösung der Minimierungsaufgabe
1
q
+
p
u
0
q
d
x
p
d
x
min
Ω
|
u
−
|
Ω
|∇
u
|
(6.39)
∈
L
q
(
Ω
)
u
vom Rauschen befreit werden soll. Wir können leicht sehen, dass dieses Problem eine
eindeutige Lösung hat: Setzen wir
A
=
id, so ist
A
injektiv und hat ein abgeschlossenes
q
die Norm auf
L
r
=
(Ω)
Bild. Da nun mit
r
auch strikt konvex ist, liefert Satz 6.86 die
Existenz eines eindeutigen Minimierers.
Untersuchen wir im Folgenden die Lösungen
u
∗
von (6.39). Man kann zum Beispiel
leicht sehen, dass im Fall
q
2 der Mittelwert von
u
∗
und
u
0
=
stets übereinstimmen,
also
Q
1
u
∗
=
Q
1
u
0
gelten muss (siehe Übungsaufgabe 6.27, die den allgemeinen Fall
behandelt). Ein wenig tiefgründiger ist die Gültigkeit eines Maximumprinzips, welches
wir allein aus der Betrachtung der Minimierungsaufgabe ableiten können:
Satz 6.95
Es sei
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und
1
. Ferner sei u
0
L
∞
(Ω)
Ω
⊂
<
≤
<
∞
∈
p
q
u
0
mit L
0
.
Dann gilt für die Lösung u
∗
von
(6.39)
ebenfalls L
≤
≤
R fast überall und
λ
>
u
∗
≤
≤
R fast überall.
