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Bemerkung 6.85
≤
(
−
)
<
•
Auf die Bedingung
q
pd
/
d
mp
falls
mp
d
kann verzichtet werden, wenn
auf ganz
L
q
Φ
(
Ω
)
koerziv ist.
•
Man kann die starke Koerzivität von
ϕ
durch Koerzivität ersetzen, falls
Φ
von
unten beschränkt ist.
strikt konvex, so folgt die Eindeutigkeit des Minimierers
u
∗
ohne weitere
Voraussetzungen an
•
Ist
Φ
ϕ
.
Diese Existenzaussage können wir sofort auf Tichonow-Funktionale anwenden, die
mit der Inversion von linearen und stetigen Abbildungen assoziiert sind.
Satz 6.86
(Tichonow-Funktionale mit Sobolew-Strafterm)
Es seien
∈
]
∞[
∈
Ω
, d, m, p wie in Satz 6.84 gegeben, q
1,
, Y ein Banach-Raum und A
L
q
L
(
(
Ω
)
,
Y
)
. Ist eine der beiden Bedingungen
m
1.
q
≤
pd
/
(
d
−
mp
)
falls mp
<
d und A injektiv auf
Π
(
)
2.
abgeschlossen
erfüllt, so existiert für jedes u
0
A injektiv und
rg
A
∈
Y, r
∈
[
1,
∞
[
und
λ
>
0
eine Lösung des Minimierungspro-
blems
p
p
m
u
u
0
r
Y
+
λ
∇
Au
−
min
.
(6.36)
r
p
∈L
q
u
(Ω)
>
Im Fall r
1
und strikt konvexer Norm in Y ist diese Lösung eindeutig.
Beweis.
Um Satz 6.84 im ersten Fall anwenden zu können, reicht es, die Koerzivität
P
m
u
n
1
r
u
0
r
Y
q
beschränkt und
q
→
∞
⇒
−
→
∞
zu zeigen: alle weiteren
Voraussetzungen sind entweder gegeben oder folgen aus einfachen Vorbetrachtungen
(siehe auch Beispiel 6.32).
Dafür betrachten wir
A
eingeschränkt auf den endlichdimensionalen Raum
Q
m
u
Au
m
,wo
Π
die Abbildung nach Voraussetzung injektiv, also stetig invertierbar bezüglich rg
(
A
|
Π
)
m
m
. Sei nun
u
n
ist. Es gibt also ein
C
>
0, so dass
u
q
≤
C
Au
Y
für alle
u
∈
Π
(
)
eine
Folge in
L
q
P
m
u
n
Q
m
u
n
AP
m
u
n
u
0
(
Ω
)
mit
q
beschränkt und
q
→
∞
. Dann ist
(
−
Y
)
m
projiziert,
>
auch beschränkt (durch ein
L
0) und wir haben, da
Q
m
auf
Π
C
−
1
Au
n
u
0
AQ
m
u
n
AP
m
u
n
u
0
Q
m
u
n
−
Y
≥
Y
−
−
Y
≥
q
−
L
.
Für
n
groß genug ist die rechte Seite nicht-negativ, daher
C
−
1
L
r
Q
m
u
n
q
−
u
n
Φ(
)
≥
→
∞
.
r
Damit hat
die geforderten Eigenschaften, nach Satz 6.84 existiert ein Minimierer.
Im zweiten Fall ist
Φ
1
r
u
0
r
Y
koerziv auf
L
q
Φ(
)=
−
(Ω)
, dies folgt aus der Aus-
sage von Übungsaufgabe 6.6. Nach Bemerkung 6.85 gibt es auch in dieser Situation ein
Minimierer.
u
Au
