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Beweis.
Anhand der Voraussetzungen und mit Hilfe von Lemma 6.83 lässt sich leicht
nachprüfen, dass
F
=
Φ
+
λ
Ψ
eigentlich, konvex und unterhalbstetig auf dem reflexi-
vem Banach-Raum
L
q
(Ω)
ist. Es bleibt für die Anwendung von Satz 6.31 nur die Koer-
zivität zu zeigen.
Zunächst bemerken wir, dass
durch ein affin-lineares Funktional von unten be-
schränkt ist, nach Satz 6.54 können wir sogar
u
0
Φ
L
q
∗
L
q
,
w
0
∈
(
Ω
)
∈
(
Ω
)
so wählen, dass
u
0
w
0
,
u
u
0
L
q
Φ
(
)+
−
≤
Φ
(
u
)
für alle
u
∈
(
Ω
)
. Insbesondere folgt die Beschränktheit
u
n
q
→
∞
von
Φ
von unten auf beschränkten Mengen. Nun sei angenommen,
für eine
u
n
in
L
q
u
n
k
P
m
u
n
k
Folge
(
)
(
Ω
)
. Betrachte zu einer beliebigen Teilfolge
(
)
die Folgen
(
)
Q
m
u
n
k
P
m
u
n
k
(
)
q
beschränkt, so
und
. Wir unterscheiden nun zwei Fälle. Ist, erstens,
Q
m
u
n
k
muss
q
unbeschränkt sein, durch einen möglichen Übergang zu einer Teilfolge
Q
m
u
n
k
u
n
k
q
→
∞
Φ(
)
→
∞
erreichen wir
. Nach Voraussetzung folgt
und, da stets
u
n
k
u
n
k
Ψ
(
)
≥
0, auch
F
(
)
→
∞
.
P
m
u
n
k
q
unbeschränkt ist, folgt mit Lemma 6.83, nach ei-
nem möglichen Übergang zu einer Teilfolge,
Zweitens, im Falle, dass
u
n
k
Q
m
u
n
k
Ψ
(
)
→
∞
. Ist zusätzlich
q
be-
schränkt, so gilt
u
n
k
u
0
w
0
,
u
n
k
u
0
Φ(
)
≥
Φ
(
)+
−
u
0
w
0
u
0
w
0
P
m
u
n
k
w
0
Q
m
u
n
k
≥
Φ(
)
−
q
∗
q
−
q
∗
q
−
q
∗
q
w
0
P
m
u
n
k
≥
−
q
∗
q
C
mit einem von
k
unabhängigem
C
∈
R
. Folglich ist
q
λ
Ψ(
q
∗
u
n
k
)
u
n
k
P
m
u
n
k
w
0
F
(
)
≥
C
+
q
−
→
∞
P
m
u
n
k
denn der Ausdruck in Klammern geht nach der „starken Koerzivität“ von
Ψ
(siehe er-
Q
m
u
n
k
neut Lemma 6.83) schon gegen unendlich. Im Falle von
q
unbeschränkt, geht
u
n
k
auch, nach Übergang zu einer weiteren Teilfolge,
Φ
(
)
gegen unendlich und damit
u
n
k
(
)
→
∞
F
.
Wir können also zu jeder Teilfolge von
u
n
u
n
k
(
)
eine weitere Teilfolge
(
)
finden, für
u
n
k
u
n
(
)
→
∞
(
)
→
∞
die
F
. Damit muss auch für die gesamte Folge
F
gelten, also ist
F
koerziv. Nach Satz 6.31 existiert ein Minimierer
u
∗
∈
L
q
(
Ω
)
.
Seien letztlich
u
∗
und
u
∗∗
Minimierer mit
u
∗
−
u
∗∗
/
m
. Dann ist
m
u
∗
=
∇
m
u
∗∗
∈
Π
∇
einer der euklidischen Norm auf
R
d
m
zugrunde
liegt (siehe die Definition (6.31) sowie die Ausführungen in Beispiel 6.23 zu Normen
und konvexer Integration), mit strikt konvexem
,
R
d
m
p
auf
L
p
und es folgt, da
·
(
Ω
)
ϕ
,
∇
p
u
∗
+
u
∗∗
)
m
2
ϕ
m
u
∗
p
+
2
ϕ
m
u
∗∗
p
(
1
1
<
∇
∇
ϕ
2
und damit
F
2
(
u
∗
+
u
∗∗
)
1
u
∗
)+
1
u
∗∗
)
, ein Widerspruch. Daher muss
u
∗
−
<
2
F
(
2
F
(
u
∗∗
∈
Π
m
gelten.
