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P
m
u
n
(
)
Dafür wenden wir (6.35) an, mit dem die Beschränktheit der Folge
in
H
m
,
p
folgt. Wegen der Reflexivität können wir weiterhin, durch eventuelle Ein-
schränkung auf eine Teilfolge, annehmen, dass
P
m
u
n
(
Ω
)
H
m
,
p
∈
(Ω)
w
für ein
w
gilt,
insbesondere konvergieren mit der kompakten Einbettung aus Satz 6.76
P
m
u
n
→
w
und, als Folge der Einbettung von Lebesgue-Räumen,
u
n
u
in
L
1
→
(Ω)
. Damit haben
wir starke Konvergenz der Folge
Q
m
u
n
u
n
P
m
u
n
=
−
→
u
−
w
im endlichdimensiona-
m
. Diesen kann man auch als Teilraum von
H
m
,
p
len Raum
Π
(
Ω
)
auffassen, daher gilt
Q
m
u
n
w
in
H
m
,
p
→
−
(Ω)
u
nach Äquivalenz der Normen. Zusammen erhalten wir da-
mit
u
n
P
m
u
n
Q
m
u
n
u
in
H
m
,
p
=
+
w
+
u
−
w
=
(
Ω
)
, insbesondere ist
u
in diesem
Sobolew-Raum enthalten.
Da
m
stark-schwach abgeschlossen ist, folgt mit Beispiel 6.23 und Lemma 6.21 die
Konvexität und mit Beispiel 6.29 und den Lemmata 6.28 und 6.14 die (schwache) Un-
terhalbstetigkeit von
∇
.
Zum Nachweis der Koerzivität sei nun
q
Ψ
u
n
≤
(
−
)
<
(
)
pd
/
d
mp
falls
mp
d
und
eine
Folge in
L
q
P
m
u
n
(
Ω
)
mit
q
→
∞
. Wir nehmen nun an, es gebe ein
L
>
0 für welches
m
u
n
L
für unendlich viele
n
. Für diese
n
gilt insbesondere auch
u
n
H
m
,
p
∇
(
Ω
)
und mit der Poincaré-Wirtinger-Ungleichung (6.35) sowie der stetigen Einbettung von
H
m
,
p
p
≤
∈
in
L
q
(
Ω
)
(
Ω
)
nach Satz 6.76 folglich
P
m
u
n
P
m
u
n
m
u
n
q
≤
m
,
p
≤
∇
p
≤
>
C
C
CL
,
C
0,
P
m
u
n
m
u
n
ein Widerspruch. Demnach impliziert
→
∞
auch
∇
→
∞
und durch
q
p
u
n
Ψ(
)
→
∞
die Koerzivität von
ϕ
schließlich
. Ist
ϕ
stark koerziv, so führt die Ungl
ei-
P
m
u
n
−
1
C
−
1
m
u
n
−
1
chung
≥
∇
zu der gewünschten Aussage.
q
p
Damit haben wir alle Aussagen für den Beweis der Existenz von Lösungen für Mi-
nimierungsprobleme mit Sobolew-Halbnorm als Strafterm zusammen.
Satz 6.84
(Existenz von Lösungen bei Sobolew-Strafterm)
Es sei
R
d
Ω
⊂
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, m
∈
N
,m
≥
1
,
1
<
p
,
q
<
∞
mit q
≤
:
L
q
eigentlich auf H
m
,
p
(
−
)
<
(Ω)
→
(Ω)
pd
/
d
mp
falls mp
d. Weiterhin sei
Φ
R
, konvex,
∞
unterhalbstetig auf L
q
m
in dem Sinn, dass
(
Ω
)
und koerziv in
Π
(
P
m
u
q
)
beschränkt und
Q
m
u
q
→
∞
⇒
Φ
(
u
)
→
∞
.
Darüber hinaus bezeichne
ϕ
p
falls u
m
u
H
m
,
p
∇
∈
(
Ω
)
Ψ
(
u
)=
∞
sonst
[
∞[
→
wobei
eigentlich, konvex, unterhalbstetig, monoton steigend und stark koerziv
sei. Dann existiert für jedes
ϕ
:
0,
R
∞
0
eine Lösung u
∗
des Minimierungsproblems
λ
>
(
Ω
)
Φ(
)+
λ
Ψ(
)
min
u
u
.
∈
L
q
u
strikt konvex, so unterscheiden sich zwei Lösungen u
∗
und u
∗∗
höchstens in
m
.
Ist
ϕ
Π
