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Aufgrund der kompakten Einbettung in
H
m−
1,
p
(Ω)
(siehe Satz 6.76) folgt aber jetzt
P
m
u
n
P
m
u
n
m−
1,
p
→
0 für
n
→
∞
. Dies ist ein Widerspruch zu
m−
1,
p
=
1 für al
le
n
.
Korollar 6.82
(Poincaré-Wirtinger-Ungleichung)
In der obigen Situation gilt für k
=
0, . . . ,
m:
m
u
H
m
,
p
P
m
u
k
,
p
≤
C
k
∇
p
∀
u
∈
(
Ω
)
.
(6.35)
Beweis.
Sei zunächst
k
=
m
. Setzen wir
P
m
u
in (6.34) ein, so folgt
P
m
u
m−
1,
p
≤
m
P
m
u
m
u
m
P
m
u
m
u
∇
p
=
∇
p
. Addition von
∇
p
=
∇
p
auf beiden Seiten und
C
C
m
·
p
äquivalent zur Norm in
H
m
,
p
die Feststellung, dass
·
m−
1,
p
+
∇
(
Ω
)
ist, liefern
<
k
,
p
≤
m
,
p
f
ür
das Gewünschte. Der Fall
k
m
folgt sofort aus der Abschätzung
u
u
H
m
,
p
alle
u
∈
(
Ω
)
.
Damit lassen sich nun die gewünschten Eigenschaften des Sobolew-Strafterms be-
weisen.
Lemma 6.83
Es sei
R
d
Ω
⊂
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet und
ϕ
:
[
0,
∞
[
→
R
eigentlich, konvex,
∞
<
<
∞
≥
unterhalbstetig und monoton steigend. Dann ist für
1
p
und m
0
das Funktional
ϕ
p
falls u
m
u
H
m
,
p
∇
∈
(
Ω
)
Ψ
(
u
)=
∞
sonst
eigentlich, konvex und (schwach) unterhalbstetig auf jedem L
q
(Ω)
≤
<
∞
,
1
q
.
Gilt darüber hinaus q
≤
pd
/
(
d
−
mp
)
falls mp
<
d und ist
ϕ
koerziv, so ist
Ψ
koerziv in
dem Sinn, dass für alle Folgen u
n
L
q
∈
(Ω)
gilt:
q
→
∞
⇒
Ψ(
)
→
∞
P
m
u
u
.
Ist
ϕ
stark koerziv, so gilt die Implikation
P
m
u
→
∞
⇒
Ψ
(
u
)
/
P
m
u
→
∞
.
q
q
Beweis.
Da
ϕ
eigentlich und monoton steigend ist, muss
ϕ
(
0
)
<
∞
gelten. Damit ist
auch
.
Die restlichen Eigenschaften sehen wir einerseits dadurch, dass
Ψ
eigentlich, denn
Ψ
(
0
)=
ϕ
(
0
)
<
∞
ξ
→|
ξ
|
nach (6.32)
eine Norm auf dem endlichdimensionalen Vektorraum
R
d
m
darstellt. Damit ist
v
→
p
=
Ω
|
p
d
x
1/
p
,
R
d
m
eine Lebesgue-Norm auf
L
p
|
(Ω
)
v
v
und das Funktional lässt
m
. Wir betrachten nun die lineare Abbildung
sich darstellen als
ϕ
◦·
p
◦∇
,
R
d
m
m
: dom
m
L
p
m
L
q
H
m
,
p
∇
∇
→
(Ω
)
∇
=
(Ω)
∩
(Ω)
,
dom
.
m
dicht definiert, unser Ziel ist es, zu zeigen, dass sie auch stark-
schwach abgeschlossen ist. Dazu sei
Nach Lemma 3.16 ist
∇
u
n
eine Folge in
L
q
H
m
,
p
, die in
L
q
(
)
(
Ω
)
∩
(
Ω
)
(
Ω
)
,
R
d
m
L
q
m
u
n
v
in
L
p
∈
(Ω)
∇
(Ω
)
gegen ein
u
konvergiert und für die zusätzlich
m
u
, es bleibt jedoch zu zeigen, dass auch
gilt. Nach Lemma 6.73 folgt sofort
v
=
∇
H
m
,
p
∈
(Ω)
u
ist.
