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t
r
r
>
·
Y
strikt konvex bemerke, dass
ϕ
(
)=
Für die Eindeutigkeit im Falle
r
1 und
t
strikt konvex ist, sich Minimierer
u
∗
und
u
∗∗
also nur in
m
unterscheiden. Insbeson-
Π
dere gilt
P
m
u
∗
=
P
m
u
∗∗
. Nehmen wir
u
∗
=
u
∗∗
an, so folgt
Au
∗
=
P
m
u
∗
+
Q
m
u
∗
=
P
m
u
∗
+
Q
m
u
∗∗
=
P
m
u
∗∗
+
Q
m
u
∗∗
=
Au
∗∗
aufgrund der Injektivität von
A
auf
Π
m
. Einsetzen liefert
1
2
Au
∗
−
u
0
1
2
Au
∗∗
−
u
0
r
Y
Au
∗
−
u
0
r
Y
Au
∗∗
−
u
0
r
Y
(
)+
(
)
<
+
2
r
und es folgt ein Widerspruch zur minimierenden Eigenschaft von
u
∗
und
u
∗∗
. Damit i
st
die Eindeutigkeit gezeigt.
r
2
r
Bemerkung 6.87
Die Injektivität (und damit Invertierbarkeit) von
A
auf
m
sichert die Koerzivität des
Zielfunktionals entlang der Richtungen, die die Sobolew-Halbnorm invariant lassen.
Man kann in gewisser Weise sagen, dass eine Lösung
u
∗
ihre Komponenten in
Π
m
durch
Inversion direkt aus
u
0
bezieht. Im Falle, dass
Y
ein Hilbert-Raum ist, lässt sich dieser
Zusammenhang präzise angeben, siehe Übungsaufgabe 6.26.
Π
Bevor wir uns der Anwendung auf konkrete Probleme zuwenden, wollen wir noch
den Subgradienten des Strafterms
p
p
untersuchen. Dazu leiten wir zunächst die
1
p
m
u
∇
m
u
Werte in
R
d
m
hat, hängt die
Adjungierte natürlich vom dort verwendeten Vektor-Skalarprodukt ab. Wir verwenden
das zu (6.32) assoziierte Skalarprodukt
,
R
d
m
m
:
L
q
L
p
∇
(Ω)
→
(Ω
)
∇
Adjungierte zu
her. Da
d
∑
i
1
,...,
i
m
R
d
m
.
a
·
b
=
a
i
1
,...,
i
m
b
i
1
,...,
i
m
für
a
,
b
∈
=
1
,
R
d
m
m
)
∗
w
? Testet man mit
u
∈C
∞
(Ω)
⊂
∈D
(Ω
)
(
∇
Angenommen,
w
, was ist dann
m
, so folgt mit partieller Integration
dom
∇
d
∑
i
1
,...,
i
m
m
u
d
x
i
1
i
m
u
d
x
·∇
=
···∂
w
w
i
1
,...,
i
m
∂
Ω
Ω
=
1
m
i
m
w
i
1
,...,
i
m
u
d
x
.
d
∑
i
1
,...,
i
m
i
1
=(
−
1
)
=1
∂
···
∂
Ω
C
∞
(Ω)
dicht in
L
p
(Ω)
Da
liegt, ist die gesuchte Adjungierte durch den Differentialope-
rator auf der rechten Seite gegeben. Im Fall
m
∇
∗
=
−
=
1 entspricht dies
div, daher
schreiben wir
d
∑
i
1
,...,
i
m
m
)
∗
=(
−
m
div
m
m
i
1
i
m
.
(
∇
1
)
=(
−
1
)
=1
∂
···
∂
