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∗ η
ε
,
η
ε
(
)=
ε
−d
m
u
ε
=
∇
m
u
∗ η
ε
=
ε
=
η
(
ε
)
∇
geglättete
u
u
x
x
/
die Identität
0; zumindest
Ω
(siehe Zusatz in Satz 3.15). Gleichzeitig ist aber
u
ε
dort
m
-mal stetig differenzierbar,
also muss für jedes
u
ε
∈
Π
in
m
(Ω
)
gelten. Andererseits konvergiert
u
ε
→
u
in
L
q
(Ω
)
und
m
(
Ω
)
m
(
Ω
)
da
Π
endlichdimensional, also insbesondere abgeschlossen ist, folgt
u
∈
Π
was zu zeigen war.
Eine für (6.33) geeignete Abbildung
P
m
muss nun die Polynome vom Grad kleiner
m
verschwinden lassen. Wir konstruieren sie wie folgt und formalisieren noch einmal
den in Lemma 6.79 benutzen Raum der Polynome bis zu einem bestimmten Grad.
Definition 6.80
(Projektion auf den Raum der Polynome)
Es sei
R
d
ein beschränktes Gebiet und
m
Ω
⊂
∈
N
mit
m
≥
1. Der Raum der
Polynome
−
vom maximalem Grad m
1 ist
span
R
α
∈
}
.
m
x
α
N
d
,
Π
(
Ω
)=
{
:
Ω
→
|
α
| <
m
. Die Abbildung
Q
m
:
L
q
L
q
Es sei ferner
q
∈
[
1,
∞
]
(
Ω
)
→
(
Ω
)
, die durch
m
x
α
d
x
x
α
d
x
Q
m
u
=
v
⇔
v
∈
Π
und
v
(
x
)
=
u
(
x
)
∀|
α
| <
m
Ω
Ω
m
, die Abbildung
P
m
:
L
q
L
q
definiert ist, nennen wir die
Projektion auf
Π
(
Ω
)
→
(
Ω
)
mit
m
.
=
−
P
m
id
Q
m
die
Projektion auf das Komplement von
Π
x
α
|α| <
m
{
→
}
(Ω)
Es ist klar, dass die Menge der Monome
x
m
eine Basis für
Π
darstellt. Die Projektion ist daher wohldefiniert.
Man sieht sofort, dass
Q
2
m
=
=
−
Q
m
gelten muss. Die Abbildung
P
m
id
Q
m
ist eben-
m
und soll das in (6.33) geforderte leisten. Un-
mittelbar klar ist dabei die Abschätzung nach oben: Da
Q
m
u
falls eine Projektion mit ker
(
P
m
)=
Π
m
und die Halbnorm
durch die volle Sobolew-Norm mit einer Konstante abgeschätzt werden kann, gilt
∈
Π
m
u
m
∇
p
=
∇
(
u
−
Q
m
u
)
p
≤
C
P
m
u
m
,
p
H
m
,
p
∈
(Ω)
für alle
u
. Den entgegengesetzten Fall liefert das folgende Lemma:
Lemma 6.81
Es sei
R
d
Ω
⊂
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet,
1
<
p
<
∞
,m
≥
1
. Dann gibt es eine
H
m
,
p
>
∈
(Ω)
=
Konstante C
0
, so dass für alle u
mit Q
m
u
0
gilt:
m
u
u
m−
1,
p
≤
C
∇
p
.
(6.34)
Beweis.
Nehmen wir an, die Ungleichung ist falsch, das heißt es existiert eine Folge
(
u
n
in
H
m
,
p
mit
Q
m
u
n
u
n
m
u
n
1
n
)
(Ω)
=
m−
1,
p
=
∇
p
≤
0,
1, so dass
für alle
n
. Mit
m
u
n
.Da
H
m
,
p
anderen Worten heißt letzteres
reflexiv ist und
u
n
in dieser Norm beschränkt, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass sogar
u
n
∇
→
0 für
n
→
∞
(
Ω
)
H
m
,
p
∈
(Ω)
=
u
für ein
u
mit
Q
m
u
0. Mit der schwachen Abgeschlossenheit von
m
ist darüber hinaus klar, dass
m
u
m
∇
∇
=
0 gelten muss. Nach Lemma 6.79 ist
u
∈
Π
=
=
und folglich
u
0 wegen
Q
m
u
0.
