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{
}→
Aufgrund der Symmetrie der Ableitung gilt für jede Permutation
π
:
1,...,
m
{
1,...,
m
}
:
m
u
m
u
(
∇
)
i
π
(1)
,...,
i
π
(
m
)
=(
∇
)
i
1
,...,
i
m
.
Die Menge aller Multiindizes mit
m
reflektiert genau diese Symmetrie, wir be-
zeichnen die Koeffizienten eines symmetrischen
|
α
|
=
R
d
m
daher auch mit
ξ ∈
(
ξ
α
)
. Insbe-
R
d
m
ausdrücken durch:
sondere lässt sich die euklidische Norm für symmetrische
ξ
∈
2
1/2
m
α
2
1/2
d
∑
i
1
,...,
i
m
∑
|α|
=
m
|
ξ
|
=
1
|
ξ
i
1
,...,
i
m
|
=
|
ξ
α
|
.
(6.32)
=
Bemerkung 6.78
Die Sobolew-Halbnorm in (6.31) weicht ein wenig von der häufig betrachteten Stan-
darddefinition
∂
α
u
p
ab. Sie ist jedoch äquivalent. Grund für diese Wahl ist,
dass so die Translations- und
Rotations
invarianz sichergestellt werden kann, siehe dazu
auch die Übungsaufgabe 6.25.
∑
|α|
=
m
als Straffunktio-
nal zu garantieren, ist es sinnvoll, die Koerzivität der Sobolew-Halbnormen zu unter-
suchen (denn für schlecht gestellte Probleme kann man keine Koerzivität vom Diskre-
panzfunktional erwarten, siehe erneut Übungsaufgabe 6.6). Während diese für Normen
klar ist, gestaltet sich der Nachweis für Halbnormen etwas schwieriger, für Tichonow-
Funktionale sei an Übungsaufgabe 6.7 erinnert. Wir betrachten eine etwas allgemeinere
Situation, werden aber ebenfalls ausnutzen, dass
Um die Existenz von Lösungen für Minimierungsprobleme mit
Ψ
m
∇
·
p
eine
zulässige Halbnorm
auf
H
m
,
p
ist, es also eine lineare und stetige Abbildung
P
m
:
H
m
,
p
H
m
,
p
(Ω)
(Ω)
→
(Ω)
und
Konstanten 0
<
c
≤
C
<
∞
gibt, so dass
m
u
H
m
,
p
c
P
m
u
m
,
p
≤∇
p
≤
C
P
m
u
m
,
p
∀
u
∈
(
Ω
)
.
(6.33)
Für die Konstruktion von
P
m
identifizieren wir zunächst den Kern der Halbnorm
∇
m
·
p
.
Lemma 6.79
Es sei
L
q
≥
≤
<
∞
∈
(Ω)
Ω
ein beschränktes Gebiet, m
1
und
1
p
,
q
. Dann gilt für u
und
,
R
d
m
m
u
L
p
m
u
∇
∈
(
Ω
)
, dass
∇
p
=
0
genau dann, wenn
R
u ist Polynom vom Grad
m
∈
Π
(Ω)=
{
Ω
→
<
}
u
u
:
m
.
m
u
Beweis.
Sei
u
ein Polynom vom Grad kleiner
m
, dann ist
∇
=
0 und folglich
m
u
∇
p
=
0.
Den Beweis der gegenteiligen Aussage beginnen wir mit zwei Bemerkungen: Zum
einen ist diese sofort klar für
m
-mal stetig differenzierb
are
u
. Zum anderen reicht es zu
zeigen, dass
u
m
(Ω
)
Ω
,
∈
Π
Ω
⊂⊂
Ω
für jede offene Teilmenge
. Nun wählen wir für
Ω
, einen Mollifier
L
q
m
u
u
∈
(
Ω
)
mit
∇
=
0 im
schwachen
Sinn so ein
η
in
D
(
B
1
(
0
))
>
Ω
+
ε
(
)
⊂⊂
Ω
< ε < ε
0
. Damit gilt für das
und
ε
0
0 klein genug, dass
B
0
für alle 0
