Variationsmethoden - Mathematische Bildverarbeitung - page 302

so dass u k nur auf einer kompakten Tei lm enge in Ω ausgewertet wird. Dazu sei eine

Nullfolge

(

t n

)

in

]

0, 1

]

gewählt für die V k − t n η k ⊂⊂ U k für alle k und n erfüllt ist.

R d ψ ∈D ( ) > Bezeichne mit einen Mollifier und wähle zu jedem n ein ε n 0, so dass der

n

Träger der skalierten Version ψ

= ψ ε n der Bedingung

( Ω −

supp ψ

n

+

t n η k

) ∩

V k

⊂⊂ Ω

für alle k 0, . . . , K genügt. Dies ist stets möglich, denn aus der Segmentbedingung

und der Wahl von t n folgt bereits
(Ω+

=

= Ω ∩ ( ) +

) ∩ − ⊂⊂ Ω t n η k V k V k t n η k t n η k .

n

→ ( ) ∗ ψ Die kombinierte Abschneide-, Translations- und Faltungsoperation u T t n η k u k

lässt sich nun ausdrücken durch

n n

(

T t n η k u k

) ∗ ψ (

x

)=

R d ψ

(

y

+

t n η k

)

u k

(

x

−

y

)

d y . (6.29)

n

Ist x

∈ Ω

, so muss u höchstens an den Punkten x

−

y

∈

V k m it y

+

t n η k ∈ supp ψ

ausgewertet werden; diese sind stets in

( Ω −

supp ψ

n

+

t n η k

) ∩

V k und damit kompakt

in Ω enthalten. Insbesondere folgt mit den Sätzen 3.15 und 3.13

∂ α (

n

n

1 ∂ α u k p ≤ ∂ α u

T t n η k u k ) ∗ ψ

p ≤

T t n η k ψ C

p

für alle Multiindizes mit

| α |≤

m . Wir definieren

M n durch

K

k =0 T t n η k ( ϕ k u ) ∗ ψ

n

M n u = (6.30)

H m , p , H m , p

welches nach obigen Betrachtungen in

L ( ( Ω ) ( Ω ))

liegt. Da es sich bei ψ um

∈C ∞ (Ω) H m , p

M n u ∈ (Ω)

einen Mollifier handelt, gilt ebenso . Man

bemerke, dass diese Konstruktion unabhängig von m und p ist. Es bleibt also zu zeigen,
dass

für alle n und u

M n u − m , p → → ∞

u 0 für n .

Sei dafür ε > 0 gegeben. Da ϕ 0 ,..., ϕ K eine Zerlegung der Eins darstellt, folgt

k = 0 T t n η k u k ∗ ψ

K

u k m , p .

n

M n u − m , p ≤ − u

∂ α ( T t n η k ∂ α u k − ∂ α u k T t n η k u k − u k )= Für festes k ist und aufgrund der Stetigkeit der

Translation in L p

( Ω )

folgt für n groß genug

ε

∂ α (

T t n η k u k − u k ) p <

2 M

(

K

+

1

)

|α|≤ =

für alle Multiindizes mit T t n η k u k

folgt darüber hinaus mit Satz 3.15, der Vertauschbarkeit von Translation und schwacher
Ableitung sowie Lemma 3.16 für n groß genug

m , deren Anzahl mit M notiert sei. Mit v k , n

∂ α (

n

) p = ∂ α v k , n − ( ∂ α v k , n ) ∗ ψ

n

v k , n − v k , n ∗ ψ p

ε

≤ ∂ α (

n

u k − u k ∗ ψ

) p <

2

(

K

+

1

)

M