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für alle Multiindizes bis zur Ordnung
m
. Zusammen haben wir damit
ε
n
n
(
T
t
n
η
k
u
k
)
∗
ψ
−
u
k
m
,
p
≤
v
k
,
n
∗
ψ
−
v
k
,
n
m
,
p
+
v
k
,
n
−
u
k
m
,
p
<
K
+
1
und durch Summation über
k
auch
.
Die Dichtheit ist eine direkte Konsequenz aus dem eben Gezeigtem.
M
n
u
−
u
m
,
p
<
ε
Eine unmittelbare Anwendung der Dichtheit ist die Gültigkeit der Kettenregel für
die schwache Ableitung in den entsprechenden Räumen.
Lemma 6.75
(Kettenregel für Sobolew-Funktionen)
Es sei
ϕ
∞
≤
→
>
ϕ
:
R
R
stetig differenzierbar mit
L für ein L
0
. Ferner sei
Ω
ein
u den Raum H
1,
p
beschränktes Lipschitz-Gebiet und
1
≤
p
<
∞
. Dann bildet u
→
ϕ
◦
(
Ω
)
in
sich ab und es gilt:
)=
ϕ
(
uin
p
∇
(
ϕ
◦
u
u
)
∇
(
Ω
)
.
Dies ist immer noch wahr, falls wir für ein a
∈
R
die Funktionen
ϕ
(
t
)=
min
(
a
,
t
)
oder
ϕ
(
t
)=
ϕ
(
(
)
)=
max
a
,
t
nehmen (unter missbräuchlicher Verwendung von Notation, wird dabei
a
0
gesetzt).
∈C
∞
(Ω)
Beweis.
Ist
u
, so folgt die Behauptung
d
irekt aus der Kettenregel. Für ein allge-
H
1,
p
u
n
C
∞
(
Ω
)
meines
u
∈
(
Ω
)
sei eine Folge
(
)
in
gewählt, die bezüglich der Sobolew-
Norm gegen
u
konvergiert. Dann gilt, da
ϕ
insbesondere Lipschitz-stetig ist,
ϕ
u
n
)
− ϕ
u
)
p
p
p
d
x
u
n
ϕ ◦
− ϕ ◦
=
(
(
u
x
x
Ω
L
p
p
p
u
n
p
d
x
L
p
u
n
≤
Ω
|
(
x
)
−
u
(
x
)
|
=
−
u
u
n
u
in
L
p
und damit
.
Nach dem Satz von Fischer-Riesz (Satz 2.48) folgt darüber hinaus für eine Teilfolge
(die wir immer noch mit
n
indizieren) die punktweise fast-überall Konvergenz gegen
u
und damit lim
n→
∞
ϕ
u
n
ϕ
◦
→
ϕ
◦
(
Ω
)
)
=
ϕ
u
)
fast-überall. Für
w
L
p
∗
,
R
d
(
(
∈
(Ω
)
x
x
folgt mit den
in
L
p
∗
ϕ
(
u
n
ϕ
(
,
R
d
)=
)
(Ω
)
Konvergenzsatz von Lebesgue (Satz 2.47) lim
n→
∞
w
w
u
und
mit der Stetigkeit der Dualpaarung auch
· ϕ
(
u
n
u
n
d
x
ϕ
(
u
n
u
n
d
x
ϕ
(
)
∇
=
)
·∇
=
)
·∇
lim
n
w
lim
n
w
w
u
u
d
x
.
→
∞
→
∞
Ω
Ω
Ω
ϕ
(
u
n
u
n
ϕ
(
u
in
L
p
,
R
d
Damit konvergiert
und mit der stark-schwachen
Abgeschlossenheit der schwachen Ableitung (Lemma 6.73) folgt die Behauptung.
Für den Zusatz
)
∇
u
)
∇
(
Ω
)
ϕ
(
t
)=
min
(
a
,
t
)
wähle, für
ε
>
0,
2
2
(
t
−
a
)
+
ε
−
ε
+
a
falls
t
>
a
ϕ
ε
(
t
)=
a
sonst,
