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Satz 6.74
Es sei
R
d
ein beschränktes Lipschitz-Gebiet, m
Ω
⊂
≥
1
und
1
≤
p
<
∞
. Dann existi
ert
eine
H
m
,
p
,
H
m
,
p
(
M
n
)
⊂C
∞
(Ω)
(
M
n
)
L
(
(Ω)
(Ω))
Folge von linearen Operatoren
in
mit
rg
für
H
m
,
p
jedes n
≥
1
und der Eigenschaft, dass für jedes u
∈
(
Ω
)
gilt:
uinH
m
,
p
lim
n
→
∞
M
n
u
=
(
Ω
)
.
Die Abbildungen können unabhän
gig
von m und p gewählt werden.
Insbesondere ist die Menge
C
∞
(
Ω
)
dicht in H
m
,
p
(
Ω
)
.
Beweis.
Ein beschränktes Lipschitz-Gebiet erfüllt die
Segment-Bedingung
(siehe [2]): Für
jede
s
x
R
d
,
∈
∂
Ω
gibt es eine offene Umgebung
U
x
und ein
η
x
∈
η
x
=
0, so dass für alle
y
∈
Ω
∩
U
x
und
t
∈
]
0, 1
[
folgt, dass
y
+
t
η
x
∈
Ω
gilt.
überdeckt von endlich vielen solcher
U
x
, wir nennen sie
U
1
,...,
U
K
.
Dies ist aufgrund der Ko
mp
aktheit von
Sei nun
∂
Ω
∂
Ω
mögli
ch.
Weiterhin lässt sich stets eine offe-
Ω
\
k
=1
U
k
⊂⊂
⊂⊂
Ω
ne
Menge
U
0
wählen mit
U
0
un
d
U
0
. Die
U
0
,...,
U
K
überdecken
Ω
und man
ka
nn für
k
=
0, . . . ,
K
offene
V
k
mit
V
k
⊂
U
k
, finden, so dass die
V
0
,...,
V
K
immer noch
überdecken. Für diese Überdeckung konstruieren wir nun eine unterge-
ord
ne
te Partition der Eins, also
Ω
K
k
R
d
ϕ
k
∈D
(
)
, supp
ϕ
k
⊂⊂
V
k
und
ϕ
k
(
x
)=
1 für
∑
=
1
∈
Ω
[
]
x
sonst.
Wir bemerken, dass das Produkt
und enthalten in
0, 1
ϕ
k
u
in
H
m
,
p
(
Ω
)
enthalten ist mit
α
β
(
∂
α
ϕ
k
)(
∂
β
−
α
u
∂
α
(
ϕ
k
u
)=
β
≤
α
)
(6.28)
|α|≤
=
für jeden Multiindex
1 kann mit voll-
ständiger Induktion leicht auf den allgemeinen Fall erweitert werden. Für
i
m
: Die folgende Argumentation für
m
=
1,...,
d
ϕ
k
∂
v
∈D
(Ω)
x
i
∈D
(Ω)
und
v
folgt
sowie
∂
ϕ
k
∂
v
∂
∂
)
−
∂ϕ
k
∂
x
i
=
x
i
(
ϕ
k
v
v
.
∂
x
i
Daher gilt
∂
v
d
x
,
ϕ
k
∂
v
∂
∂
u
∂ϕ
k
∂
u
u
∂ϕ
k
∂
u
d
x
=
u
x
i
(
ϕ
k
v
)
−
v
d
x
=
−
x
i
ϕ
k
+
∂
x
i
x
i
∂
x
i
Ω
Ω
Ω
u
∂ϕ
k
∂
∂
)=
∂
u
∂
in
L
p
x
i
(
ϕ
k
v
+
(Ω)
also ist die schwache Ableitung
x
i
ϕ
k
. Die Darstel-
∂
x
i
lung (6.28) impliziert nun
α
β
∂
α
ϕ
k
∞
∂
β
−
α
u
∂
α
(
ϕ
k
u
)
p
≤
β
≤
α
p
≤
m
,
p
,
C
u
→ ϕ
k
u
eine lineare und stetige Abbildung von
H
m
,
p
daher ist
u
(Ω)
in sich selbst.
Im Folgenden schreiben wir
u
k
=
ϕ
k
u
und setzen
η
0
=
0. Unser Ziel ist es
u
k
geeignet
in Richtung
η
k
aus der Segmentbedingung zu verschieben und anschließend zu falten,
