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diese Modelle für viele Anwendungsprobleme nicht zufriedenstellend sind, da Dis-
kontinuitäten, also Sprünge in den Helligkeitswerten wie sie zum Beispiel bei Objekt-
grenzen vorkommen, inhärent ausgeschlossen werden. Dies ist beim Raum der
Funktio-
nen mit beschränkter Totalvariation
anders, dieser spielt daher eine wichtige Rolle in der
mathematischen Bildverarbeitung. Wir werden die grundlegende Theorie für diesen
Banach-Raum im Kontext der konvexen Analysis erarbeiten und auf einige konkrete
Probleme anwenden.
6.3.1 Funktionale mit Sobolew-Strafterm
Wir beginnen mit der Analysis für Probleme mit Funktionen der Sobolew-Halbnorm in
H
m
,
p
. Dafür stellen wir zunächst einige wichtige Begrifflichkeiten und Resultate aus
der Theorie der Sobolew-Räume bereit.
(
Ω
)
Lemma 6.73
Es sei
R
d
ein Gebiet,
N
d
ein Multiindex sowie
1
Ω
⊂
α
∈
≤
p
,
q
<
∞
. Dann ist durch die
∂
α
∂
schwache Ableitung
x
α
u
∂
α
u
∂
∂
α
∂
∂
α
∂
L
p
L
q
L
q
: dom
x
α
=
∈
(
Ω
)
x
α
∈
(
Ω
)
→
(
Ω
)
x
α
eine dicht definierte, abgeschlossene Abbildung zwischen L
p
L
q
(Ω)
→
(Ω)
gegeben.
Sie ist darüber hinaus schwach-schwach abgeschlossen.
Beweis.
Wir zeigen zunächst die schwach-schwache Abgeschlossenheit woraus die
(starke) Abgeschlossenheit folgt. Sei dazu
u
n
eine Folge in
L
p
mit
u
n
(
)
(
Ω
)
u
für
∂
α
∂
L
p
u
n
L
q
ein
u
∈
(
Ω
)
sowie
v
für ein
v
∈
(
Ω
)
. Wähle eine beliebige Testfunktion
x
α
∂
α
ϕ
∂
ϕ ∈D
(Ω)
. Diese sowie die partielle Ableitung
sind auf jeden Fall in den entspre-
x
α
chenden Dualräumen
L
p
∗
und
L
q
∗
(
Ω
)
(
Ω
)
enthalten, daher folgt mit der Definition der
schwachen Ableitung
)
|α|
)
|α|
u
∂
α
ϕ
∂
u
n
∂
α
ϕ
∂
∂
α
u
n
∂
=
=
→
∞
(
−
=(
−
d
x
lim
n
d
x
lim
n
1
x
α
ϕ
d
x
1
v
ϕ
d
x
.
x
α
x
α
→
∞
Ω
Ω
Ω
Ω
=
∂
α
∂
Daher ist
v
u
, was zu zeigen war.
Die Abbildung
x
α
∂
α
∂
ist auch in
L
p
ist nun dicht definiert: Jedes
u
∈D
(
Ω
)
(
Ω
)
und
x
α
∂
α
∂
L
q
∈
(Ω)
besitzt eine stetige starke partielle Ableitung, insbesondere ist
u
. Damit gilt
x
α
∂
α
∂
D
(
Ω
)
⊂
dom
womit nach Lemma 3.16 die Behauptung folgt.
x
α
In Abschnitt 3.3 über lineare Filter haben wir bereits gesehen, dass glatte Funktionen
dich
t
in Sobolew-Räumen mit
R
d
Ω
=
liegen. Für die Gültigkeit der Dichtheit von
C
∞
(Ω)
für beschränkte
Ω
brauchen wir eine gewisse Regularität des Randes.
