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Wir schließen den Abschnitt mit einer geometrischen Interpretation der Lösungen
der primalen-dualen Aufgabe.
Bemerkung 6.72
(Primale-duale Lösungen und Sattelpunkte)
Die simultane Lösung des primalen und dualen Problems können wir folgendermaßen
interpretieren. Definieren wir das
Lagrange-Funktional L
: dom
F
1
dom
F
2
→
×
R
durch
F
2
(
L
(
u
,
w
)=
w
,
Au
+
F
1
(
u
)
−
w
)
,
u
∗
,
w
∗
)
∈
Y
∗
die
so sehen wir, dass in der Situation von (6.26) ein optimales Paar
(
X
×
Ungleichung
u
∗
,
w
∗
)
≤
u
∗
,
w
L
(
sup
w
L
(
)=
min
u
F
1
(
u
)+
F
2
(
Au
)
∈X
∈Y
∗
F
1
(
−
A
∗
w
F
2
(
u
,
w
∗
)
≤
u
∗
,
w
∗
)
=
max
w
∈Y
∗
−
)
−
w
)=
inf
u
L
(
L
(
∈X
und damit eine Lösung des
Sattelpunktproblems
u
∗
,
w
u
∗
,
w
∗
)
≤
u
,
w
∗
)
dom
F
2
(
)
≤
(
(
(
)
∈
×
L
L
L
für alle
u
,
w
dom
F
1
u
∗
,
w
∗
)
erfüllt. Das heißt, eine Lösung
(
ist ein
Sattelpunkt
von
L
. Andersherum folgt für
u
∗
,
w
∗
)
(
einen Sattelpunkt
, dass
u
∗
,
w
∗
)=
u
∗
,
w
u
∗
)+
Au
∗
)
(
(
)=
(
(
L
sup
w
L
F
1
F
2
Y
∗
∈
u
,
w
∗
)=
−
F
1
(
−
A
∗
w
∗
)
−
F
2
(
w
∗
)
=
(
inf
u
L
∈
X
u
∗
,
w
∗
)
(
was wiederum bedeutet, dass
eine Lösung des primalen-dualen Problem ist.
Die Sattelpunkte von
L
stellen also genau jene Lösungen dar.
Dieser Sachverhalt kann sich als nützlich für sogenannte
primale-duale Algorithmen
für die numerische Lösung des zunächst primal formulierten Problems (6.24) erwei-
sen. Die Grundidee dieser Methoden ist eine entsprechende Strategie, Minimierer des
Lagrange-Funktionals in der primalen Richtung und entsprechende Maximierer in der
dualen Richtung zu finden. Dabei zahlt sich aus, dass
L
eine für die numerische Be-
handlung einfachere Struktur besitzt als die entsprechenden primalen und dualen Aus-
gangsprobleme. Details dazu gibt es im Abschnitt 6.4.
6.3 Minimierung in Sobolew-Räumen und
BV
Ziel für das Folgende wird es nun sein, die in den letzten Abschnitten entwickelte Theo-
rie auf konvexe Variationsprobleme in der Bildverarbeitung anzuwenden. Wie bereits
in der Einleitung dargelegt und wie auch in den Beispielen 6.1-6.4 zu sehen war, ist
es wichtig, das richtige Modell für Bilder zu verwenden, in unserem Zugang also den
Strafterm
passend zu wählen. Ausgehend vom Raum
H
1
werden wir zunächst
Sobolew-Räume mit allgemeineren Exponenten betrachten. Es zeigt sich jedoch, dass
Ψ
(
Ω
)
