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Definition 2.6
(Räume stetiger Abbildungen)
Es sei
U
⊂
X
eine nichtleere Teilmenge des normierten Raumes
(
X
,
·
X
)
, ausgestattet
(
·
Y
)
mit der Relativtopologie, und
ein normierter Raum.
Der Vektorraum der stetigen Abbildungen sei bezeichnet mit:
Y
,
Y
F
stetig
C
(
)=
{
→
}
U
,
Y
F
:
U
.
Die Menge und die Norm
Y
F
beschränkt und gleichmäßig stetig
C
(
U
,
Y
)=
{
F
:
U
→
}
,
F
∞
=
sup
x
∈U
F
(
x
)
Y
bilden den normierten Raum der (gleichm
äß
ig)
stetigen Abbildungen
auf
U
.
Sind
U
und
Y
separabel, so ist auch
C
(
)
U
,
Y
separabel.
Gleichmäßig stetige Ab
bi
ldungen auf
U
lassen sich stets auf stetig auf
U
fortsetzen,
dies deutet die Notation
C
(
)
an. Diese in der Literatur durchaus übliche Schreibwei-
se wird
alle
rdings leicht missb
rä
uchlich verwendet: Für unbeschränkte
U
kann durch-
aus
U
U
,
Y
=
C
(
)
=
C
(
)
gelten.
Ein weiterer wichtiger Fall sind diejenigen stetigen Abbildungen zwischen zwei nor-
mierten Räumen, die zusätzlich linear sind. Diese sind durch Stetigkeit im Nullpunkt
oder äquivalent durch Beschränktheit auf der Einheitskugel charakterisiert und bilden
selber einen normierten Raum. Natürlich können lineare Abbildungen auch unstetig
sein, von Interesse sind vor allem diejenigen, die auf einem dichten Unterraum defi-
niert sind.
U
, aber
U
,
Y
U
,
Y
Definition 2.7
(Lineare und stetige Abbildungen)
Es seien
normierte Räum
e.
Eine auf einem Unterraum dom
F
(
X
,
·
X
)
,
(
Y
,
·
Y
)
⊂
=
X
mit dom
F
X
gegebene lineare Abbildung
F
: dom
F
Y
heißt
dicht definiert
, die Menge dom
F
heißt Definitionsbereich von
F
.
Die Schreibweise
→
Y
F
linear und stetig
L
(
)=
{
→
}
X
,
Y
F
:
X
bezeichne die Menge
der linearen und stetigen Abbildungen, welcher mit der Norm
0
=
{
≥
Y
≤
X
für alle
x
∈
}
F
inf
M
Fx
M
x
X
den
Raum der linearen und stetigen Abbildungen
zwischen
X
und
Y
ergibt. Die auf
L
(
X
,
Y
)
gegebene Norm wird auch als
Operatornorm
bezeichnet.
Lineare und stetige Abbildungen werden häufig auch beschränkte lineare Abbildun-
gen genannt. Man bemerke, dass dicht definierte, stetige Abbildungen auf ganz
X
fort-
gesetzt werden können, deswegen werden dicht definierte lineare Abbildungen auch
häufig
unbeschränkt
genannt.
Je nach Situation werden wir auch folgende Charakterisierungen der Operatornorm
verwenden:
0
Y
Fx
F
=
sup
1
Fx
Y
=
sup
x
X
.
x
=
x
X
≤
