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(
·
X
)
⊂
3.
Ist
X
,
ein normierter Raum und
Y
X
ein abgeschlossener Unterraum, so
lässt sich der Quotientenvektorraum
]
x
1
∼
X
/
Y
=
{
[
x
x
2
genau dann, wenn
x
1
−
x
2
∈
Y
}
mit folgender Norm konstruieren:
[
]
X
/
Y
=
X
y
x
inf
{
x
+
y
∈
Y
}
.
Die topologischen Konstruktionen ziehen einen Begriff von Stetigkeit nach sich.
Definition 2.4
(Beschränktheit, Stetigkeit, Abgeschlossenheit)
Eine Abbildung
F
:
X
⊃
U
→
Y
zwischen normierten Räumen
(
X
,
·
X
)
und
(
Y
,
·
Y
)
>
(
)
Y
≤
∈
ist
beschränkt
, falls es ein
C
0 gibt für das
F
x
C
für alle
x
U
. Den Definiti-
onsbereich
U
von
F
bezeichnen wir auch mit dom
(
F
)
.
Sie ist
stetig in x
∈
U
, falls für jedes
ε
>
0 ein
δ
>
0 existiert, so dass die Implikation
x
−
y
X
<
δ
⇒
F
(
x
)
−
F
(
y
)
Y
<
ε
gültig ist. Ist
F
in jedem Punkt
x
∈
U
stetig, so nennt man
F
einfach nur
stetig
, hängt
darüber hinaus das
nicht von
x
ab, so ist
F gleichmäßig stetig
.
Schließlich nennt man
F abgeschlossen
falls der Graph
δ
Y
y
graph
(
F
)=
{
(
x
,
y
)
∈
X
×
=
F
(
x
)
}⊂
X
×
Y
abgeschlossen ist.
Stetigkeit in
x
∈
U
lässt sich ebenfalls äquivalent durch
Folgenstetigkeit
ausdrücken,
→
⇒
(
)
→
(
)
→
∞
(
)
das heißt es gilt
x
n
in
X
.
Die schwächere Eigenschaft der Abgeschlossenheit lautet mit Folgen: Für beliebige
x
F
x
n
F
x
für
n
und beliebige Folgen
x
n
(
x
n
)
→
(
)
→
∈
∈
=
(
)
in
X
mit
x
n
.
Auf normierten Räumen ist außerdem ein stärkerer Stetigkeitsbegriff von Bedeu-
tung:
x
, so dass
F
x
n
y
für ein
y
Y
folgt stets
x
dom
F
und
y
F
x
Definition 2.5
(Lipschitz-Stetigkeit)
Eine Abbildung
F
:
X
⊃
U
→
Y
zwischen normierten Räumen
(
X
,
·
X
)
und
(
Y
,
·
Y
)
heißt
Lipschitz-stetig
, falls es eine Konstante
C
>
0 gibt, so dass für alle
x
,
y
∈
U
gilt:
F
(
x
)
−
F
(
y
)
Y
≤
C
x
−
y
X
.
Das Infimum über alle diese
C
wird
Lipschitz-Konstante
genannt.
Mengen gleichmäßig stetiger Abbildungen lassen sich mit einer Normstruktur ver-
sehen.
