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In diesem Zusammenhang sei Folgendes erwähnt.
X Fx
Die Menge ker
(
F
)= {
x
=
0
}
bezeichnet den Kern von F .
Y x
Das Bild von F ist gegeben durch rg
(
F
)= {
Fx
X
}
.
Ist F bijektiv, so ist die Inverse F 1
>
genau dann stetig, wenn es ein c
0 gibt, so
dass
X
Y
c
x
Fx
für alle x
X .
F 1
c 1 .
In diesem Fall gilt
Falls F und F 1
stetig sind, spricht man von einem linearen Isomorphismus . Gilt
F 1
insbesondere
F
=
=
1, so ist F ein isometrischer Isomorphismus .
Definition 2.8 (Einbettungen)
Wir sagen, ein normierter Raum X ist stetig in einen anderen normierten Raum Y einge-
bettet , geschrieben X
Y , falls gilt:
X
Y (bzw. X kann mit einer Teilmenge von Y identifiziert werden)
die identische Abbildung id : X
Y ist stetig.
Mit anderen Worten:
X
Y
⇐⇒
C
>
0
x
X :
x
Y
C
x
X .
Normierte Räume sind auch Ausgangspunkt für die Erklärung von Differenzierbar-
keit einer Abbildung. Neben der klassischen Definition der Fréchet-Differenzierbarkeit
soll auch der schwächere Begriff der Gâteaux-Differenzierbarkeit vorgestellt werden.
Definition 2.9 (Fréchet-Differenzierbarkeit)
Es sei F : U
Y eine auf der offenen Teilmenge U
X erklärte Abbildung zwi-
schen den normierten Räumen
(
X ,
· X )
und
(
Y ,
· Y )
. Dann ist F in x
U Fréchet-
(
) ∈L (
)
differenzierbar (oder differenzierbar), falls es ein D F
x
X , Y
gibt, so dass zu jedem
ε >
0 ein
δ >
0 existiert mit dem gilt:
(
+
)
(
)
(
)
Y
F
x
h
F
x
D F
x
h
0
<
h
X < δ
x
+
h
U und
< ε
.
h
X
Die lineare und stetige Abbildung D F
(
x
)
wird auch (Fréchet-)Ableitung an der Stelle x
genannt.
Ist F an jeder Stelle x
U differenzierbar, so heißt F (Fréchet-)differenzierbar und
→L (
)
(
)
D F : U
bezeichnet die (Fréchet-)Ableitung .
Ist D F stetig, so reden wir von stetiger Differenzierbarkeit .
X , Y
gegeben durch D F : x
D F
x
Da es sich bei
L (
)
ebenfalls um einen normierten Raum handelt, kann man auch
die Differenzierbarkeit von D F betrachten. Falls die zweite Ableitung in einem Punkt
x existiert, sie sei mit D 2 F
X , Y
(
)
x
bezeichnet, handelt es sich um ein Element des Raumes
 
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