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In diesem Zusammenhang sei Folgendes erwähnt.
X
Fx
•
Die Menge ker
(
F
)=
{
x
∈
=
0
}
bezeichnet den
Kern
von
F
.
Y
x
•
Das
Bild
von
F
ist gegeben durch rg
(
F
)=
{
Fx
∈
∈
X
}
.
Ist
F
bijektiv, so ist die Inverse
F
−
1
>
•
genau dann stetig, wenn es ein
c
0 gibt, so
dass
X
≤
Y
∈
c
x
Fx
für alle
x
X
.
F
−
1
c
−
1
.
In diesem Fall gilt
≤
Falls
F
und
F
−
1
•
stetig sind, spricht man von einem
linearen Isomorphismus
. Gilt
F
−
1
insbesondere
F
=
=
1, so ist
F
ein
isometrischer Isomorphismus
.
Definition 2.8
(Einbettungen)
Wir sagen, ein normierter Raum
X
ist stetig in einen anderen normierten Raum
Y einge-
bettet
, geschrieben
X
→
Y
, falls gilt:
⊂
•
X
Y
(bzw.
X
kann mit einer Teilmenge von
Y
identifiziert werden)
•
die identische Abbildung id :
X
→
Y
ist stetig.
Mit anderen Worten:
X
→
Y
⇐⇒
∃
C
>
0
∀
x
∈
X
:
x
Y
≤
C
x
X
.
Normierte Räume sind auch Ausgangspunkt für die Erklärung von Differenzierbar-
keit einer Abbildung. Neben der klassischen Definition der Fréchet-Differenzierbarkeit
soll auch der schwächere Begriff der Gâteaux-Differenzierbarkeit vorgestellt werden.
Definition 2.9
(Fréchet-Differenzierbarkeit)
Es sei
F
:
U
→
⊂
Y
eine auf der offenen Teilmenge
U
X
erklärte Abbildung zwi-
schen den normierten Räumen
(
X
,
·
X
)
und
(
Y
,
·
Y
)
. Dann ist
F
in
x
∈
U Fréchet-
(
)
∈L
(
)
differenzierbar
(oder differenzierbar), falls es ein D
F
x
X
,
Y
gibt, so dass zu jedem
ε
>
0 ein
δ
>
0 existiert mit dem gilt:
(
+
)
−
(
)
−
(
)
Y
F
x
h
F
x
D
F
x
h
0
<
h
X
<
δ
⇒
x
+
h
∈
U
und
<
ε
.
h
X
Die lineare und stetige Abbildung D
F
(
x
)
wird auch
(Fréchet-)Ableitung
an der Stelle
x
genannt.
Ist
F
an jeder Stelle
x
∈
U
differenzierbar, so heißt
F (Fréchet-)differenzierbar
und
→L
(
)
→
(
)
D
F
:
U
bezeichnet die
(Fréchet-)Ableitung
.
Ist D
F
stetig, so reden wir von
stetiger Differenzierbarkeit
.
X
,
Y
gegeben durch D
F
:
x
D
F
x
Da es sich bei
L
(
)
ebenfalls um einen normierten Raum handelt, kann man auch
die Differenzierbarkeit von D
F
betrachten. Falls die zweite Ableitung in einem Punkt
x
existiert, sie sei mit D
2
F
X
,
Y
(
)
x
bezeichnet, handelt es sich um ein Element des Raumes