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Zu 3.: Es ist leicht nachzurechnen, dass
u
0
w
0
,
u
sup
u
w
,
u
−
F
1
(
u
+
)
−
∈X
)
−
w
0
,
u
u
0
u
0
w
0
,
u
0
=
−
+
−
(
+
−
sup
u
w
F
1
u
w
∈X
)
−
w
0
,
u
w
0
,
u
0
=
−
−
(
−
sup
w
F
1
u
w
u
0
,
u
u
=
u
+
∈
X
F
1
(
w
0
w
0
,
u
0
=
w
−
)
−
w
−
.
(
)
Zu 4.: Wegen der Invertierbarkeit von
K
stimmen die Mengen
X
und rg
K
überein.
Y
∗
:
Also ergibt sich für
ω
∈
)
F
2
(
ω
)=
,
K
−
1
Kv
ω
−
(
sup
v
F
1
Kv
∈
Y
,
u
)
=
F
1
)
∗
ω
.
K
−
1
)
∗
ω
K
−
1
=
sup
u
(
−
F
1
(
u
(
=
Kv
,
v
∈
Y
In Hinblick auf die Lemmata 6.14 und 6.21 können wir uns nun fragen, wie punkt-
weise Supremumbildung sowie Summation auf das konjugierte Funktional wirken.
Ähnlich wie bei den Rechenregeln für das Subdifferential (Satz 6.51) ist diese Frage
nicht mehr so leicht zu beantworten. Schauen wir uns zunächst die punktweise Supre-
mumbildung an, sei also mit
{
}
∈
= ∅
F
i
,
i
I
eine nichtleere Familie von eigentlichen
mit
i∈I
dom
F
i
=
∅
X
∗
können wir
Funktionalen
F
i
:
X
→
R
gegeben. Für
w
∈
∞
folgern:
sup
i
F
i
∗
)
=
(
w
)=
sup
u
w
,
u
−
sup
i
F
i
(
u
sup
u
inf
i
I
{
w
,
u
−
F
i
(
u
)
}
∈
∈
∈X
∈
∈X
I
I
)
=
F
i
(
≤
inf
i
sup
u
w
,
u
−
F
i
(
u
inf
i
w
)
.
∈
∈
I
I
∈X
Es stellt sich die Frage, ob auch Gleichheit gilt, das heißt, ob Infimum und Supremum
vertauscht werden können. Unglücklicherweise ist dies im Allgemeinen nicht der Fall:
Wir wissen, dass
F
i
stets ein konvexes und unterhalbstetiges Funktional darstellt, die-
se Eigenschaften sind jedoch nicht mit der Infimumbildung verträglich, d.h. inf
i∈I
F
i
ist nicht notwendigerweise konvex und unterhalbstetig. Daher stellt dieses Funktional
im Allgemeinen keine Konjugierte dar. Dennoch enthält es genügend Information, um
daraus das gewünschte duale Funktional zu errechnen, es gilt nämlich
Satz 6.66
(Konjugation von Suprema)
Sei I
=
0
und F
i
:
X
→
R
,i
∈
I und
sup
i
∈
I
F
i
eigentlich auf dem reellen Banach-Raum X.
∞
Dann gilt:
sup
i
F
i
∗
=
inf
i
F
i
∗∗
.
∈
I
∈
I
Den
Beweis
dazu sollten Sie in Übungsaufgabe 6.23 erbringen.
