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s
F
2
-2
1
-1
0
0
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
-1
1
F
∗
-2
2
s
Abbildung 6.10.
Graphische Veranschaulichung der Fenchel-Dualität in einer Dimension. Links eine konvexe
(stetige) Funktion
F
, rechts ihre Konjugierte
F
∗
(mit invertierter
s
-Achse). Die eingezeichneten Geraden sind
maximal, ihre Schnittpunkte mit den jeweiligen
s
-Achsen entsprechen daher den negativen Werten von
F
∗
bzw.
F
an der zugehörigen Steigung (angedeutet durch gestrichelte Linien). Für einige Steigungen (kleiner als
−
1) gibt es keine affin-lineare Funktion, die
F
minorisiert, der Wert von
F
∗
ist dort
∞
.
Schnitt des Graphen von
m
w
mit der
s
-Achse entspricht also dem negativen Wert des
dualen Funktionals an der Stelle
w
. Dadurch ist es möglich, die Konjugierte graphisch
zu konstruieren, siehe auch Abbildung 6.10.
Wir notieren einige offensichtliche Rechenregeln für die Fenchel-Konjugierte.
Lemma 6.65
(Rechenregeln für die Fenchel-Konjugierte)
Es sei F
1
:
X
→
R
ein eigentliches Funktional auf dem reellen Banach-Raum X.
∞
ist F
2
=
F
1
− λ
λ ∈
=
+
λ
1. Mit
R
und F
2
F
1
,
F
1
folgt F
2
=
λ
F
1
◦
λ
−
1
id
,
2.
für
λ
>
0
und F
2
=
λ
gilt F
2
=
F
1
−·
◦
X
∗
und F
2
für u
0
X, w
0
w
0
,
,
u
0
3.
∈
∈
=
F
1
◦
T
u
0
+
·
T
−
w
0
,
4.
ist Y ein reeller Banach-Raum und K
∈L
(
)
=
Y
,
X
stetig invertierbar, so gilt für F
2
K die Identität F
2
=
F
1
◦
(
K
−
1
)
∗
.
F
1
◦
X
∗
ergibt sich nach Definition
Beweis.
Zu 1.: Für
w
∈
)
− λ
=
)
− λ
=
F
2
(
F
1
(
)=
−
(
−
(
)
− λ
w
sup
u
w
,
u
F
1
u
sup
u
w
,
u
F
1
u
w
.
∈X
∈X
Zu 2.: Wir nutzen aus, dass sich positive Konstanten mit der Supremumbildung vertra-
gen. Damit folgt
λλ
−
1
w
,
u
)
=
λ
)
=
λ
F
2
(
λ
−
1
w
,
u
F
1
(
λ
−
1
w
)=
−λ
(
−
(
)
w
sup
u
F
1
u
sup
u
F
1
u
.
∈X
∈X