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Abbildung 6.10. Graphische Veranschaulichung der Fenchel-Dualität in einer Dimension. Links eine konvexe
(stetige) Funktion F , rechts ihre Konjugierte F (mit invertierter s -Achse). Die eingezeichneten Geraden sind
maximal, ihre Schnittpunkte mit den jeweiligen s -Achsen entsprechen daher den negativen Werten von F
bzw. F an der zugehörigen Steigung (angedeutet durch gestrichelte Linien). Für einige Steigungen (kleiner als
1) gibt es keine affin-lineare Funktion, die F minorisiert, der Wert von F ist dort
.
Schnitt des Graphen von m w mit der s -Achse entspricht also dem negativen Wert des
dualen Funktionals an der Stelle w . Dadurch ist es möglich, die Konjugierte graphisch
zu konstruieren, siehe auch Abbildung 6.10.
Wir notieren einige offensichtliche Rechenregeln für die Fenchel-Konjugierte.
Lemma 6.65 (Rechenregeln für die Fenchel-Konjugierte)
Es sei F 1 : X
R
ein eigentliches Funktional auf dem reellen Banach-Raum X.
ist F 2 =
F 1 − λ
λ ∈
=
+ λ
1. Mit
R und F 2
F 1
,
F 1 folgt F 2 = λ
F 1 λ 1 id ,
2.
für
λ >
0 und F 2
= λ
gilt F 2 = F 1 −·
X und F 2
für u 0
X, w 0
w 0 ,
, u 0
3.
=
F 1
T u 0
+
·
T
w 0 ,
4.
ist Y ein reeller Banach-Raum und K
∈L (
)
=
Y , X
stetig invertierbar, so gilt für F 2
K die Identität F 2 =
F 1 (
K 1
) .
F 1
X ergibt sich nach Definition
Beweis. Zu 1.: Für w
) − λ =
) − λ =
F 2 (
F 1 (
)=
(
(
) − λ
w
sup
u
w , u
F 1
u
sup
u
w , u
F 1
u
w
.
∈X
∈X
Zu 2.: Wir nutzen aus, dass sich positive Konstanten mit der Supremumbildung vertra-
gen. Damit folgt
λλ 1 w , u
) = λ
) = λ
F 2 (
λ 1 w , u
F 1 ( λ 1 w
)=
−λ
(
(
)
w
sup
u
F 1
u
sup
u
F 1
u
.
∈X
∈X
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