Image Processing Reference
In-Depth Information
Wenden wir uns nun der Herleitung einer Identität für die Konjugierte einer Summe
zu. Seien also F 1 , F 2
: X
R
eigentliche Funktionale mit dom F 1
dom F 2 =
.Um
X zu errechnen, setzen wir w
w 1
w 2
+
=
+
die Konjugierte zu F 1
F 2 an der Stelle w
für w 1 , w 2
X und folgern
)
) +
)
w 1 , u
w 2 , u
sup
u
w , u
F 1
(
u
)
F 2
(
u
sup
u
F 1
(
u
sup
u
F 2
(
u
∈X
∈X
∈X
F 1 (
w 1
F 2 (
w 2
=
)+
)
.
w 1
w 2 , also
Dies gilt für alle Zerlegungen w
=
+
F 2 ) (
w 2 F 1 (
w 1
F 2 (
w 2
F 1
F 2 )(
(
F 1 +
w
)
inf
)+
)=(
w
)
.
(6.23)
=
w 1
+
w
Die Operation
w 1
w 2
(
)
(
)(
)=
(
)+
(
)
:
F , G
F
G ,
F
G
w
inf
w 2 F
G
w 1
w
=
+
für F , G : X
wird Infimalkonvolution genannt. Es gibt Bedingungen, unter denen
sich Gleichheit in (6.23) in zeigen lässt. Eine ausführliche Diskussion der Argumentati-
onskette sowie den Zusammenhang mit der Summenformel für Subgradienten findet
sich in Übungsaufgabe 6.24. Wir fassen hier nur das Hauptergebnis zusammen.
R
Satz 6.67 (Konjugation von Summen)
Es seien F 1 , F 2 : X
eigentliche, konvexe und unterhalbstetige Funktionale auf dem re-
flexiven reellen Banach-Raum X. Es existiere ein u 0
R
dom F 1
dom F 2 , in dem F 1 stetig ist.
Dann gilt:
) =
F 1
F 2 .
(
F 1
+
F 2
Wenden wir uns nun der Anwendung der Fenchel-Dualität auf konvexe Minimie-
rungsprobleme zu. Wir sind an folgender Situation interessiert, die für unsere Zwecke
allgemein genug ist:
(
)+
(
)
Primales Problem:
min
u
F 1
u
F 2
Au
(6.24)
X
wobei F 1
: X
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig auf dem reellen Banach-
∈L (
)
Raum X , A
ebenfalls eigentlich, konvex und unterhalbste-
tig auf dem reellen Banach-Raum Y ist. Schreiben wir nun F 2 als geeignetes Supremum,
so wird das Infimum zu
X , Y
und F 2 : Y
R
F 2 (
Y
+
(
)
)
inf
u
sup
w
w , Au
F 1
u
w
.
X
Falls sich nun Infimum und Supremum vertauschen lassen und wir annehmen, dass
Suprema angenommen werden, so wird daraus
A w ,
F 2 (
F 1 (
A w
F 2 (
sup
w
X
+
(
)
)=
Y
)
)
inf
u
u
F 1
u
w
max
w
w
.
∈Y
Search WWH ::




Custom Search