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Wenden wir uns nun der Herleitung einer Identität für die Konjugierte einer Summe
zu. Seien also
F
1
,
F
2
:
X
→
R
eigentliche Funktionale mit dom
F
1
∩
dom
F
2
=
∅
.Um
∞
X
∗
zu errechnen, setzen wir
w
w
1
w
2
+
∈
=
+
die Konjugierte zu
F
1
F
2
an der Stelle
w
für
w
1
,
w
2
X
∗
und folgern
∈
)
≤
)
+
)
w
1
,
u
w
2
,
u
sup
u
w
,
u
−
F
1
(
u
)
−
F
2
(
u
sup
u
−
F
1
(
u
sup
u
−
F
2
(
u
∈X
∈X
∈X
F
1
(
w
1
F
2
(
w
2
=
)+
)
.
w
1
w
2
, also
Dies gilt für alle Zerlegungen
w
=
+
F
2
)
∗
(
w
2
F
1
(
w
1
F
2
(
w
2
F
1
F
2
)(
(
F
1
+
w
)
≤
inf
)+
)=(
w
)
.
(6.23)
=
w
1
+
w
Die Operation
w
1
w
2
(
)
→
(
)(
)=
(
)+
(
)
:
F
,
G
F
G
,
F
G
w
inf
w
2
F
G
w
1
w
=
+
für
F
,
G
:
X
wird
Infimalkonvolution
genannt. Es gibt Bedingungen, unter denen
sich Gleichheit in (6.23) in zeigen lässt. Eine ausführliche Diskussion der Argumentati-
onskette sowie den Zusammenhang mit der Summenformel für Subgradienten findet
sich in Übungsaufgabe 6.24. Wir fassen hier nur das Hauptergebnis zusammen.
→
R
∞
Satz 6.67
(Konjugation von Summen)
Es seien F
1
,
F
2
:
X
→
eigentliche, konvexe und unterhalbstetige Funktionale auf dem re-
flexiven reellen Banach-Raum X. Es existiere ein u
0
R
∞
∈
dom
F
1
∩
dom
F
2
, in dem F
1
stetig ist.
Dann gilt:
)
∗
=
F
1
F
2
.
(
F
1
+
F
2
Wenden wir uns nun der Anwendung der Fenchel-Dualität auf konvexe Minimie-
rungsprobleme zu. Wir sind an folgender Situation interessiert, die für unsere Zwecke
allgemein genug ist:
(
)+
(
)
Primales Problem:
min
u
F
1
u
F
2
Au
(6.24)
∈
X
wobei
F
1
:
X
→
R
eigentlich, konvex und unterhalbstetig auf dem reellen Banach-
∞
∈L
(
)
→
Raum
X
,
A
ebenfalls eigentlich, konvex und unterhalbste-
tig auf dem reellen Banach-Raum
Y
ist. Schreiben wir nun
F
2
als geeignetes Supremum,
so wird das Infimum zu
X
,
Y
und
F
2
:
Y
R
∞
F
2
(
Y
∗
+
(
)
−
)
inf
u
sup
w
w
,
Au
F
1
u
w
.
∈
X
∈
Falls sich nun Infimum und Supremum vertauschen lassen und wir annehmen, dass
Suprema angenommen werden, so wird daraus
A
∗
w
,
F
2
(
F
1
(
−
A
∗
w
F
2
(
sup
w
X
−
−
+
(
)
−
)=
Y
∗
−
)
−
)
inf
u
u
F
1
u
w
max
w
w
.
∈
∈
∈Y
∗