Image Processing Reference
In-Depth Information
1
und andererseits folgt für
t
=
sgn
(
s
)
|
s
|
p
−
1
1
p
1
p
|
1
1
p
∗
|
p
p
∗
.
p
st
−
t
|
=
−
|
s
|
=
s
|
p
−
1
∈{
∞
}
Die Spezialfälle
p
1,
folgen aus dem ersten Punkt:
| ⇒ϕ
∗
(
)
⇒ ϕ
∗
(
ϕ
(
)=
|
)=
[
−
1,1]
(
)
ϕ
(
)=
[
−
1,1]
(
)=
|
|
t
t
s
I
s
,
t
I
s
s
s
.
Allgemein hat ein positiv
p
-homogenes Funktional eine positiv
p
∗
-homogene
Konjugierte, siehe Übungsaufgabe 6.21.
3.
Konvexe Kegel und Unterräume
Einen wichtigen Spezialfall stellt die Konjugation von Indikatorfunktionalen ab-
geschlossener, konvexer Kegel dar, also
F
=
⊂
I
K
mit
K
X
abgeschlossen, nichtleer
und der Eigenschaft, dass für alle
u
1
,
u
2
K
auch
u
1
u
2
∈
+
∈
K
sowie für alle
u
∈
K
,
X
∗
ist nämlich
α ≥
∈
∈
0 auch
α
u
K
. Für
w
0
≤
∈
falls
w
,
u
0 für alle
u
K
F
∗
(
)=
K
=
w
sup
u
w
,
u
∞
sonst
∈
=
I
K
⊥
(
w
)
X
∗
mit
K
⊥
=
{
w
∈
w
,
u
≤
0 für alle
u
∈
K
}
. Wir rechnen nach, dass für zwei
in
K
⊥
gilt
Elemente
w
1
,
w
2
w
1
w
2
,
u
w
1
,
u
w
2
,
u
+
=
+
≤
∈
0
für alle
u
K
,
also ist
w
1
w
2
K
⊥
. Genauso folgt für
w
K
⊥
und
+
∈
∈
α ≥
0 die Ungleichung
K
. Die Menge
K
⊥
ist daher wieder ein abge-
schlossener, konvexer Kegel, der
dualer Kegel
genannt wird. In diesem Sinne ist
K
⊥
dual zu
K
.
Natürlich sind abgeschlossene Unterräume
U
αw
,
u
=
α
w
,
u
≤
0 für alle
u
∈
⊂
X
in der Definition eines abge-
schlossenen Kegels enthalten. Wir stellen fest, dass
w
,
u
≤
0
für alle
u
∈
U
⇔
w
,
u
=
0
für alle
u
∈
U
,
die Menge
U
⊥
ist daher ein abgeschlossener Unterraum von
X
∗
, der
Annulator
von
U
. Im Hilbert-Raum entspricht
U
⊥
dem orthogonalen Komplement, identi-
fiziert man
X
und
X
∗
durch die Riesz-Abbildung. Die Fenchel-Dualität spiegelt
damit die übliche Dualität von abgeschlossenen Unterräumen wider.
Die Fenchel-Konjugation lässt sich auch geometrisch deuten. Nimmt man eine feste
„Steigung“
w
X
∗
, so gilt, wie wir bereits gesehen haben,
∈
R
F
∗
(
−
w
)=
sup
{
s
∈
w
,
·
+
s
≤
F
}
.
F
∗
(
X
∗
, das größte
Anders ausgedrückt:
m
w
=
w
,
·−
w
)
ist, zu gegebenen
w
∈
F
∗
(
(
)=
−
)
affin-lineare Funktional, welches
F
minorisiert. Dabei haben wir
m
w
0
w
, der
