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Bis auf die Ausnahme des konstant unendlichen Funktionals, sind die Mengen
X
∗
)
Γ
0
(
genau die Bilder der Fenchel-Konjugation. Auf diesen Mengen ist
sie sogar umkehrbar.
X
)
und
Γ
0
(
Lemma 6.63
Sei X ein reeller Banach-Raum. Dann ist die Fenchel-Konjugation
∗
:
X
∗
)
Γ
0
(
X
)
→
Γ
0
(
inver-
tierbar mit
∗
:
X
∗
)
→
Γ
0
(
Γ
0
(
X
)
als Inverse.
X
∗
)
Beweis.
Zunächst stellen wir fest, dass Konjugation auf
nach De-
finition tatsächlich in die angegebenen Mengen abbildet (Bemerkung 6.62). Ist nun
F
Γ
0
(
X
)
bzw.
Γ
0
(
X
∗
×
∈
Γ
0
(
X
)
, existiert
∅
=
K
0
⊂
R
mit
F
=
sup
K
0
w
,
·
+
s
. Nach Defini-
(
)
∈
w
,
s
tion ist
K
0
offensichtlich in spt
(
F
)
enthalten, es folgt wieder mit Bemerkung 6.62
F
∗∗
,
F
=
sup
K
0
w
,
·
+
s
≤
sup
)
w
,
·
+
s
=
(
w
,
s
)
∈
(
w
,
s
)
∈
spt
(
F
F
∗∗
. Das Konjugieren in
X
∗
ist also eine Linksinverse zum Konjugieren
in
X
. Andersherum führt dieselbe Schlussweise für
G
und damit
F
=
G
∗∗
und dam
it
ist das Konjugieren in
X
∗
auch eine Rechtsinverse zum Konjugieren in
X
.
X
∗
)
∈
Γ
0
(
=
zu
G
Beispiel 6.64
(Fenchel-Konjugation)
1.
Abgeschlossener
λ
-Ball und Norm-Funktionale
λ >
=
Für
0 und
F
I
ist die Konjugierte
{u
X
≤λ}
F
∗
(
w
)=
sup
u
X
w
,
u
−
I
X
≤
λ
}
(
u
)=
sup
w
,
u
=
λ
w
X
∗
.
{
u
∈
X
≤
λ
u
Analoges gilt für die Konjugierte von
G
=
I
. Letzteres entspricht der
{
w
X
∗
≤λ}
Situation in Beispiel 6.56.
Allgemeiner folgt für
F
(
)=
ϕ
(
X
)
→
u
u
mit einem
ϕ
:
R
R
welches eigentlich
∞
und gerade ist (d.h.
ϕ
(
x
)=
ϕ
(
−
x
)
), dass gilt
F
∗
(
)=
X
−ϕ
(
X
)
w
sup
u
w
,
u
u
∈
=
sup
t
sup
t
w
,
u
−
ϕ
(
u
X
)
≥
0
u
X
=
=
≥
0
X
∗
t
− ϕ
(
)
sup
t
w
t
)=
ϕ
∗
(
=
sup
t
R
w
X
∗
t
−
ϕ
(
t
w
X
∗
)
.
∈
2.
Potenzen und positiv-homogene Funktionale
Die reelle Funktion gegeben durch
1
p
p
ϕ
(
t
)=
|
t
|
mit 1
<
p
<
∞
hat
ψ
(
s
)=
p
∗
mit
1
1
p
1
p
∗
|
s
|
+
p
∗
=
1 zur Konjugierten. Denn einerseits liefert die Youngsche
Zahlenungleichung
1
p
|
1
p
∗
|
1
p
∗
|
p
∗
p
∗
p
ϕ
∗
(
st
≤
t
|
+
s
|
⇒
s
)
≤
s
|
=
ψ
(
s
)
