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Aus der Definition ergibt sich sofort ein fundamentaler Zusammenhang zu Subdif-
ferentialen.
Bemerkung 6.61
(Fenchel-Ungleichung)
X
∗
mit
F
und
F
∗
(
•
Ist
F
:
X
→
R
eigentlich und
(
u
,
w
)
∈
X
×
(
u
)
<
∞
w
)
<
∞
,
∞
F
∗
(
−
(
)
≤
)
so gilt
w
,
u
F
u
w
. Man überzeugt sich leicht, dass dann und in den
übrigen Fällen stets
F
∗
(
X
∗
w
,
u
≤
F
(
u
)+
w
)
für alle
u
∈
X
,
w
∈
(6.22)
gilt. Diese Ungleichung wird
Fenchel-Ungleichung
genannt.
F
∗
(
•
Gilt in der derselben Situation
w
,
u
=
F
(
u
)+
w
)
,soist
F
(
u
)
<
∞
und nach
Definition
−
(
)
≥
−
(
)
∈
w
,
u
F
u
w
,
v
F
v
für alle
v
dom
F
. Anders ausgedrückt
heißt dies
F
(
u
)+
w
,
v
−
u
≤
F
(
v
)
für alle
v
∈
X
, also
w
∈
∂
F
(
u
)
. Ist andersher-
F
∗
(
∈ ∂
(
)
≥
(
)+
)
um
w
und damit Gleichheit.
Insgesamt lässt sich also das Subdifferential als diejenigen Paare
F
u
, so folgt
w
,
u
F
u
w
X
∗
(
)
∈
×
u
,
w
X
interpretieren, an denen die Fenchel-Ungleichung scharf ist:
F
∗
(
(
)
∈ ∂
⇔
=
(
)+
)
u
,
w
F
w
,
u
F
u
w
.
Untersuchen wir nun die Konjugation als eine Operation, die Funktionale auf Funk-
tionale abbildet und fassen einige grundlegende Eigenschaften zusammen.
Bemerkung 6.62
(Konjugation als Abbildung)
Die Konjugation von eigentlichen Funktionalen in
X
beziehungsweise
X
∗
bildet
offensichtlich immer in
•
X
∗
)
∪{
∞
}
Γ
0
(
beziehungsweise
Γ
0
(
X
)
∪{
∞
}
ab. Das Bild
ist genau dann konstant
∞
, wenn es kein stetiges affin-lineares Funktional (aus
X
∗
×
R
bzw.
X
×
R
) nicht größer als
F
gibt.
•
Bildet man das punktweise Supremum über alle zu
(
w
,
s
)
∈
spt
(
F
)
assoziierten
stetigen affinen-linearen Funktionale, so erhält man, falls spt
F
=
∅
,
F
∗
(
F
∗∗
(
w
,
s
)
∈
spt(
F
)
·
+
=
X
∗
·
+
=
X
∗
·−
)=
sup
w
,
s
sup
w
w
,
sup
s
s
sup
w
w
,
w
∈
∈
∈
R
,
(
)
∈
(
)
w
,
s
spt
F
und nach Definition folgt
F
∗∗
≤
F
. Mit anderen Worten:
F
∗∗
ist das größte Funktio-
unterhalb von
F
. Analoges lässt sich für Funktionale
G
:
X
∗
→
nal aus
Γ
0
(
X
)
R
∞
sagen.
X
∗
)
•
Jedes Funktional in
ist als punktweises Supremum konve-
xer und unterhalbstetiger Funktionale wieder konvex und unterhalbstetig (siehe
Lemmata 6.14 und 6.21).
Andersherum gilt nach Lemma 6.57 stets
Γ
0
(
X
)
bzw.
Γ
0
(
F
eigentlich, konvex und unterhalbstetig
Γ
0
(
X
)=
{
F
:
X
→
R
}
∞
X
∗
)
(
und, falls
X
reflexiv ist, das Analoge auch für
Γ
0
.
