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(
)
Beweis.
Die Menge spt
F
enthält die im Lemma 6.57 konstruierte Menge
K
0
, daher ist
sup
F
. Die andere Richtung der Ungleichung gilt nach Konstru
k-
tion, damit folgt die Gleichheit.
)
w
,
·
+
s
≥
(
)
∈
(
w
,
s
spt
F
Diese so konstruierte Menge spt
(
F
)
hat einige bemerkenswerte Eigenschaften.
Lemma 6.59
Für jedes Funktional F
:
X
→
R
auf einem reellen Banach-Raum X ist die Menge der affin-
∞
w
0
,
s
0
)
∈
linearen Stützfunktionale
spt
(
F
)
konvex, abgeschlossen und für
(
spt
(
F
)
ist auch
R
(
w
0
,
s
X
∗
ist
(
)
∈
(
)
≤
∈
{
∈
)
∈
(
)
}
spt
F
für alle s
s
0
. Für ein festes w
s
w
,
s
spt
F
unbe-
schränkt nach oben genau dann, wenn F nicht eigentlich ist.
Die Aussagen übertragen sich entsprechend für Funktionale auf dem Dualraum, also für
G
:
X
∗
→
mit
R
∞
R
·
(
)=
{
(
)
∈
×
X
∗
×
X
+
≤
}
spt
G
u
,
t
X
,
u
t
G
.
Beweis.
Dies alles folgt aus direktem Nachrechnen und stellt eine leichte Übungsaufg
a-
be dar (Aufgabe 6.20).
Damit wird klar, dass sich für eigentliche
F
die assoziierte Menge spt
(
F
)
als negati-
ver Epigraph eines konvexen und unterhalbstetigen Funktionals
F
∗
:
X
∗
→
R
schrei-
R
(
∞
F
∗
(
−
)=
{
∈
)
∈
(
)
}
ben lässt, man setzt einfach
w
sup
s
w
,
s
spt
F
. Die Bedingung
(
w
,
s
)
∈
spt
(
F
)
ist äquivalent formulierbar zu
≤−
sup
u
)
w
,
u
−
F
(
u
)
≤−
s
für alle
u
∈
X
⇔
s
X
w
,
u
−
F
(
u
∈
und damit
F
∗
(
w
)=
sup
u∈X
w
,
u
−
F
(
u
)
. Dies motiviert die folgenden Definitionen.
Definition 6.60
(Duales Funktional)
Es sei
F
:
X
→
R
ein eigentliches Funktional auf einem reellen Banach-Raum
X
. Dann
∞
gibt die Definition
F
∗
:
X
∗
→
F
∗
(
,
w
)=
sup
u
∈X
w
,
u
X
∗
×X
−
F
(
u
)
R
∞
ein Funktional, welches das
duale Funktional
oder die
Fenchel-Konjugierte
von
F
genannt
wird. Darüber hinaus definiere für ein eigentliches
G
:
X
∗
→
R
∞
G
∗
:
X
G
∗
(
→
)=
X
∗
X
∗
×X
−
(
)
R
,
u
sup
w
w
,
u
G
w
.
∞
∈
Insbesondere nennen wir
F
∗∗
:
X
bzw.
G
∗∗
:
X
∗
→
→
R
R
das
biduale Funktional
zu
∞
∞
F
bzw.
G
.
Ferner seien die punktweisen Suprema stetiger affin-linearer Funktionale folgender-
maßen bezeichnet:
F
:
X
R
,
X
∗
×
Γ
0
(
X
)=
→
R
F
=
sup
K
0
w
,
·
X
∗
×X
+
s
=
∞
für ein
∅
=
K
0
⊂
∞
(
w
,
s
)
∈
G
:
X
∗
→
R
,
X
∗
)=
(
G
=
(
u
,
t
)
∈K
0
·
X
∗
×
X
+
= ∞
∅
=
⊂
×
Γ
0
R
sup
,
u
t
für ein
K
0
X
∞
wobei
∞
das konstant unendliche Funktional sei.