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(
)
Beweis. Die Menge spt
F
enthält die im Lemma 6.57 konstruierte Menge K 0 , daher ist
sup
F . Die andere Richtung der Ungleichung gilt nach Konstru k-
tion, damit folgt die Gleichheit.
)
w ,
· +
s
(
)
(
w , s
spt
F
Diese so konstruierte Menge spt
(
F
)
hat einige bemerkenswerte Eigenschaften.
Lemma 6.59
Für jedes Funktional F : X
R
auf einem reellen Banach-Raum X ist die Menge der affin-
w 0 , s 0 )
linearen Stützfunktionale spt
(
F
)
konvex, abgeschlossen und für
(
spt
(
F
)
ist auch
R (
w 0 , s
X ist
(
)
(
)
{
)
(
) }
spt
F
für alle s
s 0 . Für ein festes w
s
w , s
spt
F
unbe-
schränkt nach oben genau dann, wenn F nicht eigentlich ist.
Die Aussagen übertragen sich entsprechend für Funktionale auf dem Dualraum, also für
G : X
mit
R
R ·
(
)= { (
)
×
X × X +
}
spt
G
u , t
X
, u
t
G
.
Beweis. Dies alles folgt aus direktem Nachrechnen und stellt eine leichte Übungsaufg a-
be dar (Aufgabe 6.20).
Damit wird klar, dass sich für eigentliche F die assoziierte Menge spt
(
F
)
als negati-
ver Epigraph eines konvexen und unterhalbstetigen Funktionals F : X
R
schrei-
R (
F (
)=
{
)
(
) }
ben lässt, man setzt einfach
w
sup
s
w , s
spt
F
. Die Bedingung
(
w , s
)
spt
(
F
)
ist äquivalent formulierbar zu
≤− sup
u
)
w , u
F
(
u
) ≤−
s
für alle u
X
s
X
w , u
F
(
u
und damit F (
w
)=
sup u∈X
w , u
F
(
u
)
. Dies motiviert die folgenden Definitionen.
Definition 6.60 (Duales Funktional)
Es sei F : X
R
ein eigentliches Funktional auf einem reellen Banach-Raum X . Dann
gibt die Definition
F : X
F (
,
w
)=
sup
u
∈X
w , u
X ×X
F
(
u
)
R
ein Funktional, welches das duale Funktional oder die Fenchel-Konjugierte von F genannt
wird. Darüber hinaus definiere für ein eigentliches G : X
R
G : X
G (
)=
X
X ×X
(
)
R
,
u
sup
w
w , u
G
w
.
Insbesondere nennen wir F ∗∗ : X
bzw. G ∗∗ : X
R
R
das biduale Funktional zu
F bzw. G .
Ferner seien die punktweisen Suprema stetiger affin-linearer Funktionale folgender-
maßen bezeichnet:
F : X
R ,
X ×
Γ 0
(
X
)=
R
F
=
sup
K 0
w ,
· X ×X +
s
=
für ein
=
K 0
(
w , s
)
G : X
R ,
X )=
(
G
=
( u , t ) ∈K 0 ·
X × X +
= ∞
=
×
Γ 0
R
sup
, u
t
für ein
K 0
X
wobei
das konstant unendliche Funktional sei.
 
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