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∈
<
(
)
und andererseits, da für jedes feste
u
X
und alle
t
F
u
sup
K
0
w
,
u
X
∗
×X
+
s
>
t
⇒
sup
K
0
w
,
u
X
∗
×X
+
s
≥
sup
t
=
F
(
u
)
.
(
w
,
s
)
∈
(
w
,
s
)
∈
t
<
F
(
u
)
Sei also
(
u
,
t
)
mit
t
<
F
(
u
)
<
∞
gegeben, so ein Paar existiert. Analog zu Satz 6.31
trennen wir
{
(
u
,
t
)
}
von der abgeschlossenen, konvexen und nichtleeren Menge epi
F
w
0
,
s
0
X
∗
×
(
)
∈
λ ∈
ε >
durch ein
R
, also, mit
R
und
0,
w
0
,
v
+
s
0
τ
≥
λ
+
ε
für alle
v
∈
dom
F
und
τ
≥
F
(
v
)
w
0
,
u
+
≤ λ − ε
=
τ
=
(
)
und
s
0
t
. Setzt man
v
u
und
F
u
in die obige Ungleichung, so
folgt
s
0
F
w
0
,
u
w
0
,
u
+
s
0
F
(
u
)
>
λ
>
+
s
0
t
⇒
(
u
)
−
t
)
>
0
⇒
s
0
>
0.
s
−
1
0
s
−
1
0
w
0
Also liefert
w
=
−
und
s
=
λ
mit
τ
=
F
(
v
)
die gewünschte Ungleichungen
+
>
+
<
(
)
∈
w
,
u
s
t
und
w
,
v
s
F
v
für alle
v
X
. Insbesondere ist
K
0
nichtleer.
w
0
,
s
0
)
∈
Behandeln wir noch den Fall
t
<
F
(
u
)=
∞
, für den sich ebenfalls ein
(
X
∗
×
λ ∈
ε >
∈
R
sowie
R
,
0 mit obigen Eigenschaften finden lässt. Existiert ein
v
dom
F
max
t
,
F
)
w
0
,
u
mit
−
v
> −
2
ε
, so liefert das Einsetzen von
v
und
τ
>
(
v
w
0
,
v
w
0
,
u
w
0
,
u
+
s
0
τ
−
ε
≥
λ
≥
+
s
0
t
+
ε
⇒
s
0
(
τ
−
t
)
≥
−
v
+
2
ε
>
0
w
0
,
v
und damit
s
0
>
0, also können wir
(
w
,
s
)
wie oben wählen. Andernfalls ist
−
u
+
w
∗
,
s
∗
)
∈
X
∗
×
ε ≤
∈
(
2
0 für alle
v
dom
F
. Nach obiger Betrachtung muss es ein Paar
R
w
∗
,
mit
·
+
s
∗
<
F
geben. Für dieses gilt mit
c
>
0
w
∗
,
v
s
∗
+
w
0
,
v
+
(
−
+
ε
)
<
(
)
∈
c
u
2
F
v
für alle
v
X
.
max
0,
)
sowie
w
c
2
ε
)
−
1
s
∗
−
w
∗
,
u
w
∗
+
cw
0
,
s
s
∗
+
Die Wahl
c
>
(
2
(
t
−
=
=
ε
−
liefert damit die gewünschten Ungleichungen.
w
∗
,
u
Wir bemerken, dass sich eigentliche, konvexe und unterhalbstetige Funktionale in
Hinblick auf konvexe Minimierungsaufgaben schon als interessant herausgestellt haben
(siehe zum Beispiel Satz 6.31). Aufgrund von Lemma 6.57 werden wir uns im Folgenden
etwas näher mit punktweisen Suprema stetiger affin-linearer Funktionale beschäftigen.
Es ist zunächst klar, dass eine Menge
K
0
für die
F
=
(
·
)+
s
gilt, nicht
eindeutig sein muss. Es lässt sich jedoch immer eine ausgezeichnete Menge mit dieser
Eigenschaft angeben.
sup
w
,
(
w
,
s
)
∈
K
0
Korollar 6.58
Jedes konvexe und unterhalbstetige Funktional F
:
X
→
R
auf einem reellen Banach-Raum
∞
hat die Darstellung
R
X
∗
×
=
(
w
,
s
)
∈
spt(
F
)
·
+
(
)=
{
(
)
∈
·
+
≤
}
F
sup
w
,
s
,
spt
F
w
,
s
w
,
s
F
wobei
spt
die Menge der
linear-affinen Stützfunktionale
(„supporting affine functions“)
für F darstellt.
(
F
)
