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∈
Y
∗
≤ λ
Die beiden Summanden sind nicht-negativ für alle
u
X
und
w
und insbe-
u
∗
,
w
∗
)
sondere sind beide Null genau im Falle von
(
primale und duale Lösung. Dies
ist äquivalent mit
u
0
w
∗
−
u
∗
2
X
−
u
∗
=
u
0
w
∗
,
w
∗
,
u
∗
)=
λ
u
∗
Y
.
=
⇔
−
(
0
2
Kennt man jetzt die duale Lösung
w
∗
, so muss
u
∗
=
w
∗
die primale Lösung sein.
Wir haben also einen Weg gefunden, die Aufgabe (6.20) mithilfe des Projektionsopera-
tors zu lösen:
u
0
−
u
∗
minimiert (6.20)
u
∗
=
u
0
u
0
⇔
−
P
{w
Y
∗
≤λ}
(
)
.
Die Theorie der Fenchel-Dualität beschäftigt sich mit der systematischen Untersu-
chung der im vorigen Beispiel angewandten Techniken. Dies führt zu der Definition
des
dualen Funktionals
und damit des dualen Problems. Für die Argumentation ist wei-
terhin entscheidend, dass sich Supremum- und Infimumbildung vertauschen lassen,
was der Übereinstimmung des Infimums im primalen Problem mit dem Supremum in
dualen Problem gleichkommt. Dafür werden wir im Folgenden hinreichende Kriterien
kennenlernen. Letztlich sind wir an Zusammenhängen zwischen primaler und dualer
Lösung interessiert, um zum Beispiel von einer Lösung des dualen Problems auf eine
Lösung des primalen, und damit des ursprünglichen Problems, schließen zu können.
Schauen wir uns zunächst die Definition des dualen Funktionals an. Unser Ziel ist
es, ein geeignetes konvexes Funktional als Supremum zu schreiben. Folgendes Ergebnis
liefert dafür das Fundament.
Lemma 6.57
Jedes konvexe und unterhalbstetige Funktional F
:
X
→
auf einem reellen Banach-Raum X
ist das punktweise Supremum einer nichtleeren Familie stetiger linear-affiner Funktionale, das
heißt, es existiert eine Teilmenge K
0
R
∞
X
∗
×
⊂
= ∅
R
,K
0
, so dass
F
=
sup
K
0
w
,
·
X
∗
×X
+
s
(
w
,
s
)
∈
im punktweisen Sinn.
X
∗
×
Beweis.
Ist
F
konstant
∞
, so folgt das Ergebnis mit
K
0
=
R
. Im anderen Fall
(
)
∈
×
<
(
)
konstruieren wir im Folgenden zu jedem Paar
u
,
t
X
R
mit
t
F
u
ein
X
∗
×
(
w
,
s
)
∈
R
, so dass
w
,
u
X
∗
×X
+
s
>
t
und
w
,
v
X
∗
×X
+
s
<
F
(
v
)
für alle
v
∈
X
.
Setzt man dann
K
0
als Vereinigung aller dieser
(
w
,
s
)
, so erhält man die gewünschte
Identität einerseits aus
sup
K
0
w
,
v
X
∗
×X
+
s
≤
F
(
v
)
für alle
v
∈
X
(
w
,
s
)
∈