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Mit dem Satz von Hahn-Banach bekommt man in dieser Allgemeinheit lediglich Hy-
perebenen, die epi
F
von
{
u
,
F
)
−
ε
}
0 trennen. In Hinblick auf
den Grenzfall, den der Subgradient darstellt, ist folgende Variante des Trennungssatzes
von Hahn-Banach von grundlegender Bedeutung, die manchmal auch
Satz von Eidelheit
genannt wird.
(
u
mit beliebigen
ε
>
Lemma 6.45
(Satz von Eidelheit)
Es seien A
,
B
⊂
(
)
= ∅
X nichtleere, konvexe Teilmengen des normierten Raums X. Ist
int
A
, so existieren x
∗
∈
X
∗
,x
∗
=
und
int
(
A
)
∩
B
=
∅
0
und
λ
∈
R
, so dass
x
∗
,
x
x
∗
,
x
Re
≤
λ
für alle x
∈
A und
Re
≥
λ
für alle x
∈
B
.
Beweis.
Zunächst stellen wir fest, dass es nach Satz 2.29 ein
x
∗
∈
X
∗
,
x
∗
=
0 und ein
λ ∈
R
gibt mit
x
∗
,
x
x
∗
,
x
≤λ
∈
(
)
≥λ
∈
Re
für alle
x
int
A
und
Re
für alle
x
B
.
(
)=
∈
Nun ist aber int
A
A
(Aufgabe 6.9), daher gibt es für ein beliebiges
x
A
eine Folge
x
n
x
∗
,
x
x
∗
,
x
n
(
)
in int
(
A
)
die gegen
x
konvergiert und folglich Re
=
lim
n→
∞
Re
≤
λ
.
Wir fassen ein paar grundlegende Eigenschaften des Subdifferentials zusammen.
Satz 6.46
Es sei F
:
X
→
R
eine konvexe Funktion auf einem reellen normierten Raum X. Dann gilt für
∞
∂
F:
1.
eine konvexe, schwach*-abgeschlossene Teilmenge von X
∗
.
Für jedes u
∈
Xist
∂
F
(
u
)
2.
Ist F zusätzlich unterhalbstetig, so ist das Subdifferential eine stark-schwach* sowie
schwach-stark abgeschlossene Teilmenge des X
X
∗
, d.h. für Folgen
u
n
,
w
n
×
((
))
in
∂
F
gilt
∗
winX
∗
u
n
uinX
,
w
n
→
⇒
(
)
∈ ∂
u
,
w
F
.
oder u
n
uinX
,
w
n
winX
∗
→
3.
Ist F stetig in u, so folgt, dass
∂
F
(
u
)
nichtleer und beschränkt ist.
Beweis.
Zu 1. und 2.: Der Beweis ist eine leichte Übungsaufgabe (Aufgabe 6.10).
Zu 3.: Es sei
F
stetig in
u
. Dann lässt sich ein
δ
>
0 wählen, so dass
|
F
(
v
)
−
F
(
u
)
| <
1
für alle
v
∈
B
δ
(
u
)
. Insbesondere folgt für ein
w
∈
∂
F
(
u
)
und für alle
v
∈
X
mit
v
X
<
1
die Ungleichung
<
δ
−
1
.
1
>
F
(
u
+
δ
v
)
−
F
(
u
)
≥
w
,
δ
v
⇒
w
,
v
X
∗
≤
δ
−
1
, daher ist
Vom Übergang zum Supremum erhalten wir
w
∂
F
(
u
)
beschränkt.
Um zu zeigen, dass es ein Element in
∂
F
(
)
gibt, bemerken wir zunächst, dass epi
F
ein nichtleeres Inneres hat, denn die offene Menge
B
u
δ
(
u
)
×
]
F
(
u
)+
1,
∞
[
ist Teil des
Epigraphen von
F
. Weiterhin kann
u
,
F
)
nicht in int
(
(
)
(
)
u
epi
F
sein, Punkte
v
,
t
im
