Image Processing Reference
In-Depth Information
=
{
u
,
F
)
}
>
(
)
=
(
Letzteren erfüllen
t
F
v
. Wählt man also
A
epi
F
und
B
u
, so ergibt
w
0
,
t
0
)
∈
X
∗
×
Lemma 6.45 ein 0
=(
R
,
w
0
,
v
w
0
,
u
+
t
0
t
≤
λ
∀
v
∈
dom
F
,
F
(
v
)
≤
t
und
+
t
0
F
(
u
)
≥
λ
.
w
0
,
u
Mit
v
=
u
,
t
=
F
(
u
)
folgt sofort
λ
=
+
t
0
F
(
u
)
. Weiterhin kann nur
t
0
<
0
sein, denn
t
0
>
→
∞
=
0 führt mit
t
sofort zum Widerspruch. Wäre
t
0
0, so gälte
w
0
,
v
und folglich wäre
w
0
−
u
≤
0 für alle
v
∈
B
δ
(
u
)
=
0, was einen Widerspruch zu
t
−
1
0
w
0
,
t
0
w
0
und Umformungen erhalten wir somit schließlich
(
)
=
=
−
0 ergäbe. Mit
w
(
)+
−
≤
(
)
∀
∈
⇒
∈ ∂
(
)
F
u
w
,
v
u
F
v
v
dom
F
w
F
u
.
Damit ist der Subgradient nichtleer.
natürlich, die Subgradien-
tenungleichung für
v
aus einer dichten Teilmenge in dom
F
zu überprüfen. Für endlich-
dimensionale Räume folgt dies überraschenderweise schon allein aus der Konvexität
und auch für Punkte in denen
F
nicht stetig ist.
Ist
F
stetig in
u
, so reicht es für die Berechnung von
∂
F
(
u
)
Lemma 6.47
Es sei F
:
R
N
→
⊂
R
eigentlich, konvex und V
dom
F eine dichte Teilmenge von
dom
F.
∞
R
N
und jedes v
Angenommen, für ein u
∈
dom
F, ein w
∈
∈
V gilt:
F
(
u
)+
w
·
(
v
−
u
)
≤
F
(
v
)
,
dann ist w
∈
∂
F
(
u
)
.
Beweis.
Wir zeigen, dass es für jedes
v
0
v
n
∈
(
)
dom
F
eine Folge
in
V
gibt mit
v
n
v
0
v
n
v
0
lim
n→
∞
. Die Behauptung folgt dann aus dem
Grenzübergang in der Subgradientenungleichung. Sei also zu gegebenen
v
0
=
sowie lim sup
n
→
∞
F
(
)
≤
F
(
)
∈
dom
F
N
∃
u
1
,...,
u
k
dom
F
,
u
1
v
0
,...
u
k
v
0
=
{
∈
∈
−
−
}
K
max
k
linear unabhängig
.
1 an und wählen
u
1
,...
u
K
=
≥
∈
Der Fall
K
0 ist trivial, wir nehmen also
K
dom
F
so
dass
v
0
u
1
v
0
,...,
u
K
v
0
dom
F
⊂
U
=
+
span
(
−
−
)
.
Betrachte nun, für
n
≥
1, die Mengen
0
v
0
K
i
=
1
λ
i
(
u
i
K
i
=
1
λ
i
≤
1
n
,
v
0
=
+
−
)
≥
S
n
λ
1
,...,
λ
K
deren Inneres in der Relativtopologie bezüglich
U
nichtleer ist. Daher gibt es zu jedem
n
1 ein
v
n
≥
∈
∩
S
n
V
, denn
V
muss auch dicht in
S
n
sein. Es gilt
1
i
v
0
K
i
=
1
λ
K
i
=
1
λ
K
i
=
1
λ
v
n
v
0
n
i
u
i
v
0
n
n
i
u
i
=
+
(
−
)=
−
+