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In-Depth Information
Es bleibt zu zeigen, dass
j
X
∗
normerhaltend ist. Einerseits haben wir
j
X
∗
x
∗
X
R
=
x
∗
,
i
−
X
x
x
∗
,
x
x
∗
X
∗
.
sup
1
|
Re
| ≤
sup
1
|
|
=
x
X
R
≤
x
X
≤
x
n
x
n
x
∗
,
x
n
Andererseits wählen wir
zu jeder Fo
lge
(
)
in
X
mit
X
≤
1 und
|
| →
i
X
sgn
x
n
in
X
R
, die ebenfalls
x
∗
X
∗
die Folge
x
n
x
∗
,
x
n
x
n
=
X
R
≤
1 erfüllt sowie
Re
x
∗
, sgn
x
n
j
X
∗
x
∗
X
R
≥
j
X
∗
x
∗
,
x
n
→
∞
|
|
=
x
∗
,
x
n
lim
n
lim
n
→
∞
x
∗
,
x
n
x
∗
X
∗
.
=
→
∞
|
|
=
lim
n
j
X
∗
x
∗
X
R
=
x
∗
X
∗
.
Daher ist
Bemerkung 6.40
•
Wir sehen ebenfalls, dass
j
X
∗
i
−
1
X
R
stets ein isometrischer Isomorphis-
mus ist. Daher werden wir diese Räume stillschweigend miteinander identifizie-
ren.
X
∗
)
R
→
:
(
X
∗
i
Y
Ai
−
1
•
Analog ist für
A
∈L
(
X
,
Y
)
die Abbildung
A
R
=
in
L
(
X
R
,
Y
R
)
. Die Ad-
X
jungierte erfüllt die Identität
A
R
=
j
X
∗
A
∗
j
−
1
.
Y
∗
•
Für (Prä-) Hilbert-Räume
X
ergibt sich aus dieser Konstruktion auf
X
R
das Ska-
larprodukt
i
−
1
X
x
,
i
−
X
y
(
)
X
R
=
(
)
X
für
x
,
y
∈
x
,
y
Re
X
R
.
Damit reicht es im Folgenden, die Betrachtungen auf reelle Banach-Räume bezie-
hungsweise Hilbert-Räume einzuschränken, ohne zum Beispiel auf komplexwertige
Funktionenräume verzichten zu müssen. Als weitere Vorbereitung definieren wir eine
geeignete Vektorraum-Arithmetik für mengenwertige Abbildungen oder
Graphen
.
Definition 6.41
(Mengenwertige Abbildungen, Graphen)
Es seien
X
,
Y
reelle normierte Räume.
1.
⇒
⊂
×
Eine
mengenwertige Abbildung F
:
X
Y
oder
Graph
ist eine Teilmenge
F
X
Y
.
Y
(
Wir schreiben
F
(
x
)=
{
y
∈
x
,
y
)
∈
F
}
und gebrauchen
y
∈
F
(
x
)
äquivalent zu
(
x
,
y
)
∈
F
.
2.
Für jede Abbildung
F
:
X
→
Y
bezeichnen wir den zugehörigen Graphen eben-
=
x
,
F
)
x
X
und verwenden stillschweigend
F
falls mit
F
(
x
∈
(
x
)=
y
sowie
(
)=
{
}
F
x
y
äquivalent.
3.
Für mengenwertige Abbildungen
F
,
G
:
X
⇒
Y
und
λ
∈
R
seien
y
2
y
1
(
F
+
G
)(
x
)=
{
y
1
+
∈
F
(
x
)
,
y
2
∈
G
(
x
)
}
,
y
y
(
λ
F
)(
x
)=
{
λ
∈
F
(
x
)
}
.
4.
Ist
Z
ein reeller normierter Raum und
G
:
Y
⇒
Z
, so definiert
)
y
(
◦
)(
)=
{
∈
(
∈
(
)
}
G
F
x
z
G
y
F
x
die Komposition von
G
und
F
.
