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Ist
u
1
=
0 und
u
2
=
2.
0, so kann man
F
immer noch nach
u
2
differenzieren und
erhält analog:
u
2
+
u
2
)=
1 sowie
u
2
=
sgn
(
f
2
, es folgt demnach
|
f
2
| >
f
2
−
(
)
sgn
f
2
.
Für
u
1
=
0 und
u
2
=
1 und
u
1
=
3.
0 folgt analog:
|
f
1
| >
f
1
−
sgn
(
f
1
)
.
Der Fall
u
1
=
u
2
=
4.
0 liefert schließlich keine weitere Aussage.
Zusammen ergibt sich
⎧
⎨
⎩
(
0, 0
)
falls
|
f
1
|≤
1,
|
f
2
|≤
1,
f
1
,0
−
sgn
(
f
1
)
falls
|
f
1
| >
1,
|
f
2
|≤
1
u
∗
=
0,
f
2
)
−
sgn
(
f
2
falls
|
f
1
|≤
1,
|
f
2
| >
1
f
1
−
)
falls
sgn
(
f
1
)
,
f
2
−
sgn
(
f
2
|
f
1
| >
1,
|
f
2
| >
1,
denn das Gegenteil muss zwangsläufig einer entsprechenden Folgerung aus den Fällen
1 bis 3 widersprechen.
Für allgemeine
a
,
b
,
c
wird das Ausrechnen der Lösung entsprechend mühsamer,
Entsprechendes gilt für höhere Dimensionen. Im unendlichdimensionalen Fall mit
A
2
,
2
2
∈L
(
)
symmetrisch und positiv definit,
f
∈
ist diese Technik für die Auf-
gabe
∞
i
=1
|
u
i
|
in dieser Form nicht mehr anwendbar; das Zielfunktional ist nirgends stetig geschweige
denn differenzierbar.
2
(
u
,
Au
)
min
u
−
(
f
,
u
)+
2
∈
Wie dieses Beispiel zeigt, ist es auch wünschenswert, eine einheitliche Behand-
lung von Minimierungsaufgaben mit nicht-differenzierbarem (oder, im Idealfall, nicht-
stetigem) konvexen Funktional zu ermöglichen. Das Subdifferential stellt sich auch in
diesen Situationen als ein geeignetes Mittel dar.
6.2.3 Der Subdifferential-Kalkül
Bevor wir zur Definition des Subgradienten und Subdifferentials kommen, sind einige
Vorbereitungen nötig.
Lemma 6.39
Es sei X ein komplexer normierter Raum. Dann existieren ein reeller normierter Raum X
R
und
normerhaltende Abbildungen i
X
:
X
:
X
∗
→
X
R
, so dass
j
X
∗
x
∗
,
i
X
x
→
X
R
sowie j
X
∗
=
x
∗
,
x
X und x
∗
∈
X
∗
.
∈
Re
für alle x
Beweis.
Durch die Einschränkung der skalaren Multiplikation auf reelle Zahlen wird
der komplexe Vektorraum
X
zu einem reellen Vektorraum
X
R
. Analog gibt
·
X
R
=
·
X
eine Norm auf
X
R
, somit ist
i
X
=
id eine normerhaltende Abbildung
X
→
X
R
.
Wir definieren
j
X
∗
:
X
∗
→
X
R
via
j
X
∗
x
∗
,
x
x
∗
,
i
−
1
X
X
R
×X
R
=
X
∗
×
X
∀
∈
Re
x
x
X
R
.
