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Die Inversion
F
−
1
⇒
⇒
5.
:
Y
X
eines
F
:
X
Y
sei schließlich erklärt durch
X
y
F
−
1
(
y
)=
{
x
∈
∈
F
(
x
)
}
.
Zur Motivation der Definition des Subgradienten schauen wir noch einmal auf
Satz 6.33. Für konvexe Funktionale
F
, die darüber hinaus noch Gâteaux-differenzierbar
sind, wird die Ableitung durch die Ungleichung (6.9) charakterisiert. Die Idee hinter
dem Subdifferential ist nun, die Forderung nach der Gâteaux-Differenzierbarkeit weg-
zulassen und dadurch ein verallgemeinerten Ableitungsbegriff einzuführen.
Definition 6.42
(Subgradient, Subdifferential)
Es sei
X
ein reeller normierter Raum und
F
:
X
→
R
ein konvexes Funktional. Ein
∞
X
∗
wird ein
Subgradient
genannt, falls
w
∈
(
)+
−
≤
(
)
∀
∈
F
u
w
,
v
u
F
v
v
X
(6.10)
erfüllt ist. Die Relation
genügen (6.10)
definiert einen Graphen
(
u
,
w
)
∈
∂F
⇔
(
u
,
w
)
X
∗
, der das
Subdifferential
von
F
genannt wird. Die Gleichung (6.10) heißt
Subgradientenungleichung
.
⇒
∂
F
:
X
Somit besteht
∂
F
(
u
)
aus allen Steigungen von affin-linearen Stützfunktionalen, die
(
)
in
u
den Wert
F
u
annehmen und unterhalb von
F
bleiben. In einem Punkt
u
kann
∂
leer sein, aber eben auch mehrelementig.
Für die Analyse von konvexen Minimierungsaufgaben liefert der Subdifferentialbe-
griff eine naheliegende Verallgemeinerung von Korollar 6.35:
F
(
u
)
Satz 6.43
(Optimalität für konvexe Minimierungsaufgaben)
Es sei F
:
X
→
R
ein konvexes Funktional auf einem reellen normierten Raum. Dann gilt:
u
∗
∈
∞
u
∗
)
X löst
min
u
F
(
u
)
⇐⇒
0
∈
∂
F
(
.
∈X
u
∗
)
≤
Beweis.
Ein
u
∈
X
löst die Aufgabe min
u∈X
F
(
u
)
genau dann, wenn
F
(
F
(
u
)
für
u
∗
)=
u
∗
)+
u
∗
alle
u
∈
X
. Da aber
F
(
F
(
0,
u
−
, ist dies nach Definition des Subgrad
i-
u
∗
)
enten äquivalent zu 0
∈ ∂
(
F
.
Um diese Aussage auf konkrete Probleme anwenden zu können, ist es wichtig, sich
mit den Eigenschaften des Subdifferentials eingehender zu befassen. Im diesem Ab-
schnitt sollen die wichtigsten erarbeitet werden; zusammenfassend rechnet man mit
Subgradienten „fast“ so wie mit der klassischen Ableitung. Anhand von Beispielen wer-
den wir darüber hinaus sehen, dass mit diesem verallgemeinerten Ableitungsbegriff
viele in der Praxis interessante Funktionale behandelt werden können, für die keine
klassische Ableitung existiert. Einen ersten Eindruck davon gibt folgendes Beispiel.
Beispiel 6.44
(Subdifferential in
R
)
Diskutieren wir die Subgradienten der konvexen Funktionen
→
ϕ
1
,
ϕ
2
:
R
R
∞
10
t
2
0
1
−
4
t
falls
t
≤
0,
falls
t
∈
[
−
1, 1
]
,
ϕ
1
(
t
)=
ϕ
2
(
t
)=
1
2
t
2
+
t
falls
t
>
0,
∞
sonst.
