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Man sieht, dass sich diese Methode auch für Beispiel 6.2 anwenden lässt; in Bei-
spiel 6.4 kam sie schon (in einer Variante) zum Einsatz. Wir stoßen jedoch schnell an ihre
Grenzen, zum Beispiel bei der Hinzunahme von konvexen Beschränkungen. In diesem
Fall ändern sich die Kriterien für Optimalität.
Beispiel 6.37
(Minimierung unter konvexen Beschränkungen)
Sei
F
:
R
→
R
konvex und stetig differenzierbar. Betrachte das Minimierungsproblem
(
)
min
F
u
,
u
∈
[
−
1,1]
welches eine Lösung
u
∗
besitzt. Ist
u
∗
∈
]
−
u
∗
)=
[
(
1, 1
, so muss D
F
0 gelten, ansonsten
folgt im Fall
u
∗
=
1
(
−
)
−
(
)
F
1
t
F
1
u
∗
)=
−
D
F
(
lim
t
≥
0
t
→
0
und im Fall
u
∗
=
−
u
∗
)
≥
0. Wegen (6.8) sind diese Bedingungen auch
hinreichend dafür, dass
u
∗
ein Minimierer ist. Also lässt sich die Optimalität von
u
∗
äquivalent ausdrücken durch: es gibt ein
1 analog D
F
(
μ
∗
∈
R
, so dass
u
∗
)+
μ
∗
sgn
u
∗
)=
u
∗
|−
μ
∗
≥
u
∗
|−
)
μ
∗
=
(
(
|
≤
(
|
D
F
0,
1
0,
0,
1
0.
μ
∗
ist in diesem Zusammenhang der
Lagrange-Multiplikator
zur Beschränkung
Der Wert
2
|
0. Im nächsten Abschnitt wird noch genauer auf diesen Begriff eingegangen.
Da wir an Minimierungsaufgaben in (unendlichdimensionalen) Banach-Räumen in-
teressiert sind, stellt sich hier die Frage, inwiefern sich die obige Technik übertragen
lässt. Ist zum Beispiel
u
|
−
1
≤
R
d
ein Gebiet,
F
:
L
2
Ω
⊂
(Ω)
→
R
konvex, differenzierbar auf
dem reellen Hilbert-Raum
L
2
und
u
∗
eine Lösung des Problems
(
Ω
)
(
)
min
F
u
,
∈L
2
u
(Ω),
u
2
≤
1
u
∗
)=
u
∗
2
<
u
∗
,
v
so folgt D
F
(
0 falls
1. Andernfalls, variiert man um
tv
mit
(
)
<
0,
∂
∂
2
2
2
2
u
∗
+
so folgt
u
+
tv
=
2
(
u
,
v
)+
2
t
v
und für
t
klein genug wird
tv
2
<
1.
t
Benutzt man die minimierende Eigenschaft von
u
∗
, so bekommen wir
u
∗
)
(
D
F
(
,
v
)=
t
F
u
∗
)
≥
1
u
∗
+
v
,
u
∗
)
<
lim
t→
0
(
tv
)
−
F
(
0. Dies kann für alle
v
mit
(
0 nur gelten, falls
u
∗
)+
μ
∗
u
∗
=
μ
∗
≥
(
D
F
0 mit einem
0 (Übungsaufgabe 6.8). Das Optimalitätssystem
lässt sich daher analog schreiben als:
0,
1
μ
∗
=
u
∗
u
∗
)+
μ
∗
u
∗
2
−
μ
∗
≥
u
∗
2
−
D
F
(
u
∗
2
=
0,
1
≤
0,
0.
μ
∗
∈
Es gibt also wieder einen Lagrange-Multiplikator
R
.
Die Situation ändert sich, wenn man eine punktweise fast-überall Beschränkung
nimmt, also
(
)
min
F
u
.
L
2
u
∈
(Ω)
,
u
∞
≤
1
u
∗
∞
<
Gilt nun für einen Minimierer
1, so kann man nicht sofort folgern, dass
(
Ω
)
u
∗
)=
L
2
D
F
(
0 ist, denn die Menge
{
u
∈
u
∞
≤
1
}
hat kein Inneres (andern-
falls wäre die Einbettung
L
∞
(Ω)
→
L
2
(Ω)
nach dem Satz von der offenen Abbildung,
