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u
∗
+
>
∞
<
Satz 2.16, surjektiv, ein Widerspruch). Es ist aber, für
t
0 klein genug,
tv
1
messbar. Deswegen ist
Ω
|
Ω
⊂
Ω
u
∗
)
|
für jedes
v
=
σχ
Ω
,
σ
∈{−
1, 1
}
,
D
F
(
d
x
=
0 für
Ω
⊂
Ω
u
∗
)=
(
jedes messbare
und damit D
F
0.
u
∗
∞
=
1 ist die Situation schwieriger zu analysieren. Zum einen stellt man
analog zur obiger Argumentation fest, dass für jede messbare Teilmenge
Im Fall
Ω
⊂
Ω
mit
u
∗
|
Ω
∞
<
u
∗
)
|
Ω
=
1 auch D
F
(
0 folgt; damit insbesondere auf der Vereinigung aller
∈
Ω
u
∗
(
∈
Ω
u
∗
(
solcher Mengen
Ω
0
. Mit
Ω
+
=
{
x
x
)=
1
}
,
Ω
−
=
{
x
x
)=
−
1
}
hat
∪
Ω
+
∪
Ω
−
. Nun
man, bis auf eine Nullmenge, eine disjunkte Zerlegung von
Ω
in
Ω
0
auch
Ω
D
F
Ω
⊂
Ω
+
u
∗
)
u
∗
)
≤
folgt für alle messbaren
(
d
x
≤
0; also D
F
(
0 fast überall
u
∗
)
≥
(
in
Ω
+
. Analog erhalten wir D
F
0 fast überall in
Ω
−
. Zusammengefasst ergibt
μ
∗
∈
L
2
sich das Optimalitätssystem: es existiert ein
(
Ω
)
, so dass
u
∗
)+
μ
∗
sgn
u
∗
)=
D
F
(
(
0
und
u
∗
|−
μ
∗
≥
u
∗
|−
)
μ
∗
=
|
≤
(
|
1
0,
0,
1
0
fast überall in
Ω
.
Der Lagrange-Multiplikator ist hier im Gegensatz zu den vorigen Situationen ein un-
endlichdimensionales Objekt.
Wie man sieht, führen verschiedene Beschränkungen zu qualitativ unterschiedli-
chen Optimalitätsbedingungen. Weiterhin kann die Herleitung dieser Bedingungen
recht umfangreich und stark mit dem unterliegenden Raum verknüpft sein. Es ist daher
wünschenswert, Hilfsmittel zur Hand zu haben, die eine einheitliche Behandlung von
konvexen Beschränkungen erlauben. Wir werden sehen, dass der Begriff des Subdiffe-
rentials unter anderem dieses erlaubt. Bevor wir diesen vorstellen, sei noch kurz eine
weitere Motivation für die Verallgemeinerung des Ableitungsbegriffs aufgezeigt.
Beispiel 6.38
Es sei zu
a
,
b
,
c
b
2
R
2
∈
R
mit
a
>
0,
ac
−
>
0 und
f
∈
die Minimierungsaufgabe
au
1
+
cu
2
2
bu
1
u
2
+
min
u
∈
R
2
F
(
u
)
,
F
(
u
)=
−
f
1
u
1
−
f
2
u
2
+
|
u
1
|
+
|
u
2
|
2
gegeben. Es ist leicht zu sehen, dass eine eindeutige Lösung existiert. Das Funktional
F
ist konvex, stetig und koerziv, allerdings nicht differenzierbar. Man kann nichtsdesto-
trotz die Lösung durch geeignete Fallunterscheidungen ermitteln. Wir beschränken uns
hier exemplarisch auf den Fall
a
=
=
=
1,
b
0 und
c
1.
Ist
u
1
=
0 und
u
2
=
u
∗
)=
1.
0, so muss D
F
(
0 sein, also
u
1
−
u
1
+
u
1
)=
u
1
)=
+
(
(
f
1
sgn
0
sgn
f
1
⇐⇒
u
2
+
u
2
)=
u
2
+
u
2
)=
f
2
+
sgn
(
0
sgn
(
f
2
,
und damit
1, denn das Gegenteil führt zum Widerspruch. In
diesem Fall muss, wie man leicht nachrechnet, die Lösung gegeben sein durch
|
f
1
| >
1 sowie
|
f
2
| >
u
1
=
u
2
=
−
(
)
−
(
)
f
1
sgn
f
1
,
f
2
sgn
f
2
.
