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das eindeutige Element in X
∗
, für welches gilt:
=
(
)
Ist u ein innerer Punkt von K, so ist w
D
F
u
F
(
u
)+
w
,
v
−
u
≤
F
(
v
)
∀
v
∈
K
.
(6.9)
∈
∈
]
]
Beweis.
Sei
F
zunächst konvex. Wählt man
u
,
v
K
und
t
0, 1
, so erhalten wir
F
tv
u
t
F
)
und nach Division durch
t
folgt für
t
+(
1
−
t
)
≤
F
(
u
)+
(
v
)
−
F
(
u
→
0
F
u
)
−
+
(
−
(
)
t
v
u
F
u
D
F
(
u
)
,
v
−
u
=
lim
t
≤
F
(
v
)
−
F
(
u
)
t
→
0
und damit (6.8). Nehmen wir jetzt an, dass (6.8) gilt. Durch Vertauschen von
u
und
v
und Addition folgern wir sofort
(
)
−
(
)
−
≥
∀
∈
D
F
u
D
F
v
,
u
v
0
u
,
v
K
.
F
u
)
definiert auf
Betrachte zu festem
u
,
v
und
stetig dort. Die Gâteaux-Differenzierbarkeit und die obige Ungleichung liefern nun
f
(
∈
K
die Funktion
f
(
t
)=
+
t
(
v
−
u
[
0, 1
]
)
(
)=
D
F
u
)
−
D
F
u
)
,
)
≥
f
(
t
)
−
s
t
−
s
+
t
(
v
−
u
+
s
(
v
−
u
(
t
−
s
)(
v
−
u
0
. Also wächst
f
monoton. Wählt man schließlich ein beliebiges
t
∈
]
[
∈
für alle
s
,
t
0, 1
]
, so ergibt der Mittelwertsatz, angewandt für 0 und
t
beziehungsweise
t
und 1 die
Existenz von
s
,
s
mit 0
0, 1
[
s
<
<
<
<
s
t
1, so dass
f
(
t
)
−
f
(
0
)
f
(
1
)
−
f
(
t
)
f
(
f
(
s
)=
=
s
)
≤
.
−
−
t
0
1
t
Umgestellt ist dies
F
tv
u
+(
1
−
t
)
=
f
(
t
)
≤
tf
(
1
)+(
1
−
t
)
f
(
0
)=
tF
(
v
)+(
1
−
t
)
F
(
u
)
.
Da
u
,
v
∈
K
und
t
∈
]
0, 1
[
beliebig waren, ist die Konvexität für die nichttrivialen Fälle
gezeigt.
Für den Zusatz sei
u
ein innerer Punkt von
K
und
w
X
∗
derart, dass (6.9) gilt. Für
∈
jedes
v
∈
=
+
t v
∈
∈
]
−ε
ε
[
>
X
ist nun
v
u
K
in einem Intervall
t
,
. Für
t
0 folgt mit der
Gâteaux-Differenzierbarkeit
F
(
u
+
t v
)
−
F
(
u
)
≤
=
(
)
w
,
v
lim
D
F
u
,
v
t
→
0
+
t
und für
t
<
0 analog schließlich
w
,
v
=
D
F
(
u
)
,
v
. Damit ist
w
=
D
F
(
u
)
.
Bemerkung 6.34
Für konvexe, Gâteaux-differenzierbare Funktionale lässt sich in jedem inneren Punkt
u
von
K
die Ableitung durch die Ungleichung (6.9) charakterisieren. Geometrisch be-
trachtet bedeutet diese, dass man im Punkt
u
ein affin lineares
Stützfunktional
anlegen
kann, die dort
F
(
)
annimmt und auf ganz
K
unterhalb
F
bleibt. Die „Steigung“ dieser
Funktion muss mit D
F
u
(
u
)
übereinstimmen, siehe auch Abbildung 6.7.
Korollar 6.35
Ist das Funktional F aus Satz 6.33 konvex und erfüllt
D
F
u
∗
)=
0
für ein u
∗
∈
K, so ist u
∗
ein
(
Minimierer von F auf K.
