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nicht koerziv. Wäre dies der Fall, so existierte A 1
(
)
auf rg
A
und wäre stetig; aus der
u 0
Sicht der Inversen Probleme wäre Au
=
nicht schlecht gestellt (siehe auch Übungs-
aufgabe 6.6).
Für die Eindeutigkeit des Minimierers lassen sich sofort zwei hinreichende Bedin-
gungen angeben. Zum einen: Falls
q
X ( q
·
>
1) strikt konvex ist, so ist
Ψ
und folglich
p
Y ( p
F strikt konvex. Zum anderen: Wenn A injektiv und
·
>
1) strikt konvex ist,
u 0
so auch u
Φ (
Au
)
und damit F . In beiden Fällen ergibt sich nach Satz 6.31 die
Eindeutigkeit von u .
Vergleicht man jetzt F mit den Funktionalen in den Beispielen 6.1-6.4, so stellt man
fest, dass es sich dort nicht um Tichonow-Funktionale handeln kann. Verantwortlich
dafür ist der Term
∇· 2 auf dem jeweiligen
Sobolew-Raum darstellt. Wünschenswert wäre also eine Verallgemeinerung des Exis-
tenzresultates auf
Ψ
, der nur das Quadrat der Halbnorm
q
X mit einer geeigneten Halbnorm
1
q
|·| X . Weil eine Halb-
norm auf einem Unterraum verschwindet, müssen für die Koerzivität des Tichonow-
Funktionals zusätzliche Bedingungen an A erfüllt sein. Ein Nachweis der Existenz eines
Minimierers für die Situation ist Gegenstand in Aufgabe 6.7.
Es sei noch erwähnt, dass es in Hinblick auf Punkt 1 in Beispiel 6.29 auch möglich ist,
als Strafterm die q -te Potenz der Norm eines reflexiven Banach-Raumes Z zu nehmen,
der stetig in X eingebettet ist; man betrachtet dort einfach das Funktional in Z . Genauso
gilt dies auch für gewisse Halbnormen in Z . Die Betrachtung der Minimierungsaufgabe
in X kann bei der Formulierung von Optimalitätsbedingungen vorteilhaft sein, wie wir
später noch sehen werden.
Ψ (
u
)=
|
u
|
Hat man sich für ein gegebenes konvexes Funktional mit der direkten Methode die
Existenz eines (eindeutigen) Minimierers verschafft, so ist man natürlich auch daran in-
teressiert, einen auszurechnen. In der klassischen Analysis ist folgende Argumentation
geläufig:
Angenommen, u
X minimiert das Funktional F : X
R . Wählt man ei-
ne beliebige Richtung v
X und variiert in diese Richtung, das heißt, betrachtet
u +
(
)=
(
)
F v
, so erhält man stets, dass 0 ein Minimierer von F v ist. Nimmt man
weiterhin an, jedes F v ist differenzierbar in 0, so erhalten wir F v
t
F
tv
(
0
)=
0 und darüber
hinaus, falls F Gâteaux-differenzierbar in u mit Ableitung D F
u )
X ist,
(
F v (
u )
u )=
0
)=
D F
(
, v
=
0
v
X
D F
(
0.
Mit anderen Worten: Jeder Minimierer von F ist notwendigerweise ein stationärer
Punkt. Bei dieser Argumentation spielte die Konvexität bisher keine Rolle. Aus ihr kann
man jedoch folgern, dass das Kriterium auch hinreichend ist.
Satz 6.33
Sei F : U
R ein Funktional, welches auf einer offenen Umgebung U einer konvexen Teilmen-
ge K eines reellen normierten Raumes X Gâteaux-differenzierbar ist. Dann ist F konvex in K
genau dann, wenn
(
)+
(
)
(
)
F
u
D F
u
, v
u
F
v
u , v
K .
(6.8)
 
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