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nicht koerziv. Wäre dies der Fall, so existierte
A
−
1
(
)
auf rg
A
und wäre stetig; aus der
u
0
Sicht der Inversen Probleme wäre
Au
=
nicht schlecht gestellt (siehe auch Übungs-
aufgabe 6.6).
Für die Eindeutigkeit des Minimierers lassen sich sofort zwei hinreichende Bedin-
gungen angeben. Zum einen: Falls
q
X
(
q
·
>
1) strikt konvex ist, so ist
Ψ
und folglich
p
Y
(
p
F
strikt konvex. Zum anderen: Wenn
A
injektiv und
·
>
1) strikt konvex ist,
u
0
so auch
u
→
Φ
(
Au
−
)
und damit
F
. In beiden Fällen ergibt sich nach Satz 6.31 die
Eindeutigkeit von
u
∗
.
Vergleicht man jetzt
F
mit den Funktionalen in den Beispielen 6.1-6.4, so stellt man
fest, dass es sich dort nicht um Tichonow-Funktionale handeln kann. Verantwortlich
dafür ist der Term
∇·
2
auf dem jeweiligen
Sobolew-Raum darstellt. Wünschenswert wäre also eine Verallgemeinerung des Exis-
tenzresultates auf
Ψ
, der nur das Quadrat der Halbnorm
q
X
mit einer geeigneten Halbnorm
1
q
|·|
X
. Weil eine Halb-
norm auf einem Unterraum verschwindet, müssen für die Koerzivität des Tichonow-
Funktionals zusätzliche Bedingungen an
A
erfüllt sein. Ein Nachweis der Existenz eines
Minimierers für die Situation ist Gegenstand in Aufgabe 6.7.
Es sei noch erwähnt, dass es in Hinblick auf Punkt 1 in Beispiel 6.29 auch möglich ist,
als Strafterm die
q
-te Potenz der Norm eines reflexiven Banach-Raumes
Z
zu nehmen,
der stetig in
X
eingebettet ist; man betrachtet dort einfach das Funktional in
Z
. Genauso
gilt dies auch für gewisse Halbnormen in
Z
. Die Betrachtung der Minimierungsaufgabe
in
X
kann bei der Formulierung von Optimalitätsbedingungen vorteilhaft sein, wie wir
später noch sehen werden.
Ψ
(
u
)=
|
u
|
Hat man sich für ein gegebenes konvexes Funktional mit der direkten Methode die
Existenz eines (eindeutigen) Minimierers verschafft, so ist man natürlich auch daran in-
teressiert, einen auszurechnen. In der klassischen Analysis ist folgende Argumentation
geläufig:
Angenommen,
u
∗
∈
→
X
minimiert das Funktional
F
:
X
R
. Wählt man ei-
ne beliebige Richtung
v
∈
X
und variiert in diese Richtung, das heißt, betrachtet
u
∗
+
(
)=
(
)
F
v
, so erhält man stets, dass 0 ein Minimierer von
F
v
ist. Nimmt man
weiterhin an, jedes
F
v
ist differenzierbar in 0, so erhalten wir
F
v
t
F
tv
(
0
)=
0 und darüber
hinaus, falls
F
Gâteaux-differenzierbar in
u
∗
mit Ableitung D
F
u
∗
)
∈
X
∗
ist,
(
F
v
(
u
∗
)
u
∗
)=
0
)=
D
F
(
,
v
=
0
∀
v
∈
X
⇒
D
F
(
0.
Mit anderen Worten: Jeder Minimierer von
F
ist notwendigerweise ein stationärer
Punkt. Bei dieser Argumentation spielte die Konvexität bisher keine Rolle. Aus ihr kann
man jedoch folgern, dass das Kriterium auch hinreichend ist.
Satz 6.33
Sei F
:
U
→
R
ein Funktional, welches auf einer offenen Umgebung U einer konvexen Teilmen-
ge K eines reellen normierten Raumes X Gâteaux-differenzierbar ist. Dann ist F konvex in K
genau dann, wenn
(
)+
(
)
−
≤
(
)
∀
∈
F
u
D
F
u
,
v
u
F
v
u
,
v
K
.
(6.8)