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impliziert. Dies beweist die Unterhalbstetigkeit von
F
und, zusammen mit der
Konvexität, die schwache Folgenunterhalbstetigkeit (Korollar 6.28).
Unterhalbstetigkeit impliziert für konvexe Funktionale neben der schwachen Unter-
halbstetigkeit auch die starke Stetigkeit im Inneren des effektiven Definitionsbereichs.
Satz 6.30
Ein konvexes, unterhalbstetiges Funktional F
:
X
→
R
auf einem Banach-Raum X ist stetig
∞
in jedem inneren Punkt von
dom
F.
Beweis.
Für den nicht-trivialen Fall genügt es nach Satz 6.25 zu zeigen, dass
F
in einer
Umgebung von oben beschränkt ist. Wählen wir also ein
u
0
u
0
∈
int
(
dom
F
)
,
R
>
F
(
)
X
F
und setzen
V
=
{
u
∈
(
u
)
≤
R
}
, so bilden die Mengen
X
V
,
u
u
0
−
u
=
∈
+
∈
V
n
u
0
n
n
1, eine Folge konvexer abgeschlossener Mengen, denn
F
ist konvex und unter-
halbstetig (siehe Bemerkung 6.26). Darüber hinaus gilt
V
n
0
⊂
≥
≤
V
n
1
für
n
0
n
1
, denn
n
−
1
1
n
−
1
0
u
0
u
0
u
0
u
0
+
(
u
−
)=
+(
n
0
/
n
1
)
(
u
−
)
ist aufgrund der Konvexität in
V
enthal-
n
−
1
0
ten, wenn
u
0
u
0
V
gilt.
Schließlich folgt, dass für jedes
u
+
(
u
−
)
∈
u
0
u
0
∈
→
(
+
(
−
))
in
einer Umgebung von 0 endliche Werte annimmt, andernfalls wäre
u
0
kein innerer Punkt
von dom
F
. Ohne Einschränkung können wir annehmen, dass
F
u
in dieser Umgebung
sogar stetig ist, siehe Satz 6.25. Also gibt es ein
n
X
die konvexe Funktion
t
F
t
u
1, so dass
u
0
n
−
1
u
0
≥
+
(
u
−
)
∈
V
.
Dies zeigt
n≥
1
V
n
=
X
.
Nach dem Baireschen Kategoriensatz (Satz 2.14) hat ein
V
n
einen inneren Punkt un
d
folglich
V
, was die Beschränktheit von
F
in einer Umgebung bedeutet.
Schließlich erhält man die folgende Anwendung der direkten Methode für die Mi-
nimierung von konvexen Funktionalen.
Satz 6.31
(Die direkte Methode für konvexe Funktionale im Banach-Raum)
Sei X ein reflexiver Banach-Raum und F
:
X
→
R
ein konvexes, unterhalbstetiges, koerzives
∞
Funktional. Dann besitzt die Minimierungsaufgabe
min
u
F
(
u
)
∈X
eine Lösung in X. Ist F strikt konvex, so ist diese Lösung eindeutig.
Beweis.
Wir führen die Aussage auf Satz 6.17 zurück. Im Falle von
F
konstant unend-
lich ist nichts zu zeigen, sei also
F
eigentlich, folglich epi
F
.Da
F
nach Korollar
6.28 schwach unterhalbstetig ist, bleibt die Beschränktheit von unten zu zeigen. Dazu
wenden wir den Trennungssatz 2.29 für die abgeschlossene Menge epi
F
und der kom-
pakten Menge
=
∅
u
0
,
F
u
0
{
(
(
)
−
1
)
}
an, die offensichtlich disjunkt sind. Es existiert also ein
x
∗
,
t
∗
)
∈
X
∗
×
(
λ ∈
Paar
R
und ein
R
, so dass einerseits
x
∗
,
u
t
∗
F
+
(
)
≥ λ
∀
∈
Re
u
u
X
