Image Processing Reference
In-Depth Information
Die Aussage gilt auch unter der Annahme, dass
Y
der Dualraum eines separa-
blen normierten Raumes ist (wegen der schwach* Folgenkompaktheit des Ein-
heitsballs, siehe Satz 2.21) und die Einbettung in
X
schwach*-stark abgeschlossen
ist.
2.
Verkettung mit linearer Abbildung
F
◦
A
→
⊃
Ist
Y
reflexiv,
F
:
Y
R
konvex, unterhalbstetig sowie koerziv und
A
:
X
∞
dom
A
→
Y
eine stark-schwach abgeschlossene lineare Abbildung, so ist
F
◦
A
ei-
nerseits konvex (siehe Beispiel 6.23) und andererseits unterhalbstetig: Für
u
n
→
u
Au
n
u
n
in
X
und lim inf
n→
∞
F
(
)
<
∞
muss wegen der Koerzivität
(
Y
)
beschränkt
Au
n
k
sein. Damit existiert eine schwach konvergente Teilfolge
(
)
v
mit
v
∈
Y
,
Au
n
k
die ohne Einschränkung auch so gewählt werden kann, dass lim
k
→
∞
F
(
)=
Au
n
. Es gilt außerdem
u
n
k
lim inf
n
→
∞
F
(
)
→
u
, daher folgt
v
=
Au
und weiterhin
Au
n
k
Au
n
F
(
Au
)
≤
lim
k
F
(
)=
lim inf
n
F
(
)
.
→
∞
→
∞
Eine analoge Argumentation führt zu der Konvexität und Unterhalbstetigkeit von
F
◦
A
unter den Voraussetzungen, dass
Y
der Dualraum eines separablen Banach-
Raumes,
F
:
Y
konvex, schwach*-unterhalbstetig, koerziv sowie
A
stark-
schwach* abgeschlossen ist.
→
R
∞
3.
Indikatorfunktionale
Es ist leicht einzusehen, dass ein Indikatorfunktional
I
K
genau dann unterhalbst-
etig ist, wenn
K
abgeschlossen ist. Für konvexe, abgeschlossene
K
ist demnach
I
K
schwach folgen-unterhalbstetig.
4.
Konvexe Integration
Sei
L
p
,
K
N
(Ω
μ
)
≤
<
∞
=
(Ω
)
,
F
,
ein Maßraum und, für 1
p
,
X
der assoziierte
:
K
N
Lebesgue-Raum wobei
N
≥
1. Weiterhin sei
ϕ
→
R
konvex, unterhalb-
∞
K
n
sowie
ϕ
(
)
≥
∈
ϕ
(
)=
stetig und erfülle
t
0 für alle
t
0
0 falls
Ω
unendliches
Maß hat bzw. sei
ϕ
von unten beschränkt falls
Ω
endliches Maß hat. Dann ist das
Funktional
u
)
d
x
F
(
u
)=
Ω
ϕ
(
x
→
F
:
X
R
wohldefiniert und schwach unterhalbstetig. Denn, angenommen
∞
u
n
u
n
und
u
in
L
p
,
K
N
, so liefert der Satz von Fischer-
Riesz (Satz 2.48) eine Teilfolge, die wir ohne Einschränkung
→
u
für eine Folge
(
)
(
Ω
)
u
n
(
)
nennen können,
die fast überall punktweise konvergiert. Daher bekommen wir für fast alle
x
∈
Ω
die Abschätzung
ϕ
u
)
≤
ϕ
u
n
)
(
(
x
lim inf
n
x
→
∞
welche, eingesetzt in das Integral und mit dem Lemma von Fatou (Lemma 2.46)
die Ungleichung
u
)
d
x
u
n
)
d
x
F
(
u
)=
Ω
ϕ
(
x
≤
lim inf
n
ϕ
(
x
→
∞
Ω
Ω
ϕ
u
n
)
d
x
u
n
≤
(
=
(
)
lim inf
n
x
lim inf
n
F
→
∞
→
∞
