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und andererseits
x
∗
,
u
0
t
∗
(
u
0
x
∗
,
u
0
t
∗
F
u
0
t
∗
<
λ
Re
+
F
(
)
−
1
)=
Re
+
(
)
−
t
∗
<
λ
und folglich
t
∗
>
folgt. Zusammen ergibt sich
λ
−
0. Für ein beliebiges
R
>
0
∈
X
≤
gewinnt man daraus, für
u
X
mit
u
R
, die Abschätzung
x
∗
X
∗
x
∗
,
u
λ
−
R
≤
λ
−
Re
≤
F
(
u
)
.
t
∗
t
∗
>
0, so dass
F
(
u
)
≥
0 für alle
Die Koerzivität von
F
sichert nun die Existenz eines
R
u
X
≥
R
. Damit ist
F
von unten beschränkt und besitzt nach Satz 6.17 einen Minimie-
rer.
Nimmt man schließlich an, dass
F
strikt konvex ist und
u
∗
=
u
∗∗
jeweils
F
minimie-
ren, so ergibt sich
F
u
∗
+
u
∗∗
1
2
F
1
2
F
u
∗
)+
u
∗∗
)
>
min
u
F
(
u
)=
(
(
≥
min
u
F
(
u
)
2
∈X
∈X
was einen Widerspruch darstellt. Folglich ist in diesem Fall die Lösung der Minimi
e-
rungsaufgabe eindeutig.
Beispiel 6.32
(Tichonow-Funktionale)
Seien
X
,
Y
Banach-Räume,
X
reflexiv,
A
und
u
0
Y
gegeben. Die lineare Ab-
bildung
A
modelliere einen
Vorwärtsoperator
, der einem Bild die Daten zuordnet, die ge-
messen werden können. Dies kann zum Beispiel ein Faltungsoperator (Beispiel 6.2) aber
auch die Identität sein (Beispiel 6.1). Weiterhin modelliere
u
0
die verrauschten Messda-
ten. Wir wollen, von den Betrachtungen in Abschnitt 6.1 ausgehend, die Norm in
Y
als Grundlage zur Quantifizierung der Diskrepanz nehmen. Weiterhin stelle der Raum
X
ein gutes Modell für die zu rekonstruierenden Daten
u
dar. Wir wählen daher die
Funktionale
∈L
(
X
,
Y
)
∈
1
p
1
q
p
Y
,
q
X
Φ(
)=
Ψ(
)=
v
v
u
u
mit
p
,
q
≥
1. In dieser abstrakten Situation lautet das assoziierte Variationsproblem
u
0
min
u∈X
Φ
(
Au
−
)+
λ
Ψ
(
u
)
oder
p
Y
q
X
u
0
)=
−
+
λ
Au
u
min
u
F
(
u
)
,
F
(
u
(6.7)
p
q
∈X
λ >
mit einem
0. Funktionale
F
dieser Form werden auch
Tichonow-Funktionale
genannt.
Sie spielen in der Theorie der schlecht gestellten Probleme eine besondere Rolle.
Mit den Aussagen in Lemma 6.21 und den Betrachtungen in Beispiel 6.23 fällt es
nicht schwer, zu sehen, dass
F
:
X
konvex ist. Das Funktional ist auf ganz
X
end-
lich, also auch stetig (Satz 6.25), insbesondere unterhalbstetig. Der Term
→
R
∞
q
X
sorgt
offensichtlich für die Koerzivität von
F
(siehe Bemerkung 6.13). Demnach ist Satz 6.31
anwendbar, es existiert also ein Minimierer
u
∗
∈
q
u
X
. Man bemerke, dass das Straffunk-
u
0
→
Φ(
−
)
tional
λ
Ψ
wesentlich für diese Aussage ist, denn
u
Au
ist im Allgemeinen
